Изменение запасов и статуса ресурсов

Значение двойственной оценки того или иного дефицитного ресурса показывает, насколько возросло бы значение целевой функции, если бы объём данного ресурса (запас) увеличился на 1 ед. На основании вышеизложенных свойств двойственных оценок можно записать следующее:

∆F=u_{i *} ∆b_i

Где u_i –двойственная оценка i-го ресурса;

∆b _i – приращение i-го ресурса;

∆F – изменение целевой функции.

 

В нашем примере увеличение молока на 1 кг. привело бы к росту F_max на 16,36ед. (∆F=u_{i *} ∆b_i=16,36 * 1=16,36), а увеличение запаса наполнителя на 7,27 ед.

Двойственная оценка для недефицитного ресурса равна нулю, так как ресурс используется не полностью и увеличение его запасов (∆b_i) не повлияет на оптимальное решении. В нашем примере u₃ =u₄=0, следовательно, ресурсы по спросу (3 и 4)- недефицитные. Избыток ресурсов по спросу, соответственно 87,5 и 50.

Заметим, что теневая цена характеризует интенсивность улучшения оптимального решения F. Однако при этом не фиксируется интервал значений изменения запасов ресурсов, при которых интенсивность улучшения целевой функции остается постоянной. Для большинства практических ситуаций логично предположить наличие верхнего и нижнего предела изменения запасов, выход за который приводит к новому базисному решению и соответствующим ему новым теневым ценам. Ниже определяется интервал значений запасов ресурса, при которых двойственная оценка постоянна.

Предельные значения (нижняя и верхняя границы) изменения каждого из ресурсов, для которых предельная эффективность остается неизменной, определяются как:

∆b^-_i= max - ≤ ∆ b_i≤ min - = ∆ b_i⁺

a_ij>0 a_ij<0

 

где ∆ b_i – величина изменения i-го ресурса;

∆ b_i ^- - величина уменьшения i-го ресурса;

∆ b_i⁺ - величина увеличения i-го ресурса;

X_j⁰ – значение j-ой переменной в оптимальном плане;

a_ij - коэффициенты, структурных сдвигов для соответствующего вида ресурсов (коэффициенты столбцов базисных переменных в оптимальном плане, коэффициенты обратной матрицы к базису оптимального плана).

Проведем анализ устойчивости предельной эффективности ресурса «молоко», т.е. определим границы изменения этого ресурса, при которых предельная эффективность в 16,36 руб. остается постоянной.

 

Для удобства вычислений запишем рядом столбец коэффициентов структурных сдвигов по молоку и столбец оптимального решения

 

-0,9 300

-2,727 87,5

1,818 312,5

0,909 50

Тогда max в₁≤min

-55 ≤△в₁≤32, 1

Таким образом, ресурс «молоко» может быть уменьшен на 55 кг или увеличен на 32,1 кг. Диапазон изменения равен [ 400-55; 400+32,1]=[345; 432,1]. Верхняя граница полностью совпадает с ранее найденной. Аналогично можно найти пределы изменения ресурса «наполнитель». Пределы изменения недефицитных ресурсов по спросу искать не имеет смысла, потому что нижняя их граница находится непосредственно из оптимальной симплекс-таблицы (87,5 и 50 – соответственно), а верхняя равна бесконечности. Все расчеты можно свести в результирующую таблицу.

 

Наименование ресурса	Двойственная оценка	Величина ресурса	Нижняя граница	Верхняя граница
Молоко	16,36			432,1
Наполнитель	7,27		335,38	392,5
Спрос			12,5	_
Спрос				_

 

Здесь также можно определить целесообразность дополнительного приобретения дефицитного ресурса.. Например, определить, выгодно ли приобретать дополнительно молоко в количестве 20 кг. по цене с₁ = 15 руб. за 1 кг.

Увеличение запаса молока на величину ∆b₁ = 20 кг. находится в пределах устойчивости двойственных оценок. Следовательно, ∆F=u_{i *} ∆b_i = 16,36*20 =327,2 руб. Затраты на приобретение 20 кг. молока составляют:

 

∆с = ∆b₁ * с₁ = 20 * 15 = 300 руб.

 

Поскольку величина дополнительных доходов (∆F_max) больше дополнительных затрат (327,2>300) закупать молоко в размере 20 кг. по цене с₁ = 15 руб. целесообразно.

Нахождение оптимального плана и решение двойственной задачи позволяют составит так называемый «субоптимальный план»

Составим субоптимальный вариант плана с учетом изменения исходных данных.

Пусть предприятие нашло возможность увеличить запас молока на 10 кг.

Базисные переменные	Оптимальное решение	Коэффициенты структурных сдвигов (ас)	Произведение ac 10	Расчет варианта плана
X2 X5 X1 X6	87,5 312,5	-0,9 -2,727 1,818 0,909	-9 -27,27 18,18 9,09	60,23 330,68 59,09
F (X)		u1=16,36	163,6	9363,6

В результате производство сливочного мороженого возросло, шоколадного - снизилось, спрос на сливочное и шоколадное мороженое тоже изменился.

Таким образом, анализ устойчивости позволяет построить множество вариантов оптимальных планов с учетом изменения исходных условий задачи.