Экономическая интерпретация решения задачи линейного программирования.

Любая экономико-математическая модель лишь упрощенно, грубо отображает реальный экономический процесс, и это упрощение существенно сказывается на получаемых результатах. Исследователя вряд ли устроила бы заключительная симплекс-таблица, из которой можно было бы получить только список переменных и их значения. На самом же деле результирующая симплекс-таблица «насыщена» весьма важными данными, лишь небольшую часть которых составляют оптимальные значения переменных. Из симплекс-таблицы можно получить информацию относительно:

• оптимального решения;

• статуса ресурсов;

• ценности каждого ресурса;

• чувствительности оптимального решения к изменению запасов ресурсов, вариациям коэффициентов целевой функции и интенсивности потребления ресурсов.

Сведения, относящиеся к первым трем пунктам, можно извлечь непосредственно из итоговой симплекс-таблицы. Получение информации, относящейся к четвертому пункту, требует дополнительных вычислений и будет рассмотрена длее.

Оптимальное решение

С точки зрения практического использования результатов решения задач линейного программирования классификация переменных на базисные (балансные) и небазисные (свободные, управляемые) не имеет значения и при анализе оптимального решения может не учитываться. Переменные, отсутствующие в симплекс-таблице в столбце «базисные переменные», обязательно имеют нулевое значение. Значение остальных переменных приводится в столбце «свободные члены».

При интерпретации результатов оптимизации в задаче об ассортименте продукции нас прежде всего интересуют объемы производства мороженого, т.е. значение управляемых переменных х₁ и х₂. Используя данные, содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты можно представить в следующем виде:

Управляемые переменные	Оптимальные значения	Решение
х1 х2	312,5	Объем производства сливочного мороженого должен быть равен 312,5 кг. Объем производства шоколадного мороженого должен быть равен 300 кг.
Fmax		Доход от реализации мороженого должен рав-няться 9200 руб.

Статус ресурсов

В п. ресурсы относились либо к дефицитным, либо к недефицитным - в зависимости от того, полное или частичное их использование предусматривает оптимальные решения задачи. Сейчас цель состоит в том, чтобы получить соответствующую информацию непосредственно из оптимальной таблицы.

В модели, построенной для задачи об ассортименте продукции, фигурируют четыре ограничения со знаком «≤». Первые два ограничения (определяющие допустимый расход исходного сырья) представляют собой истинные ограничения на ресурсы. Третье и четвертое ограничение относится к спросу. Эти требования можно рассматривать как ограничения на соответствующие ресурсы, так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению представительства предприятия на рынке сбыта. В отношении финансовых средств такая ситуация имеет те же последствия, что и увеличение запасов ресурсов, требующее распределения дополнительных вложений.

Из вышеизложенного следует, что статус ресурсов (дефицитный или недефицитный) для любой модели линейного программирования можно установить непосредственно из результирующей симплекс-таблицы (последняя итерация), обращая внимание на значения столбца базисных (балансных) переменных и столбца свободных членов. Применительно к нашей задаче можно привести следующую сводную таблицу:

Ресурс	Базисная (балансная) переменная	Статус ресурса
Молоко Сырье В Спрос Спрос	Х3=0 Х4=0 Х5=87,5 Х6=50	Дефицитный Дефицитный Недефицитный Недефицитный

 

Положительное значение базисной переменной указывает на неполное использование соответствующего ресурса, т.е. данный ресурс является недефицитным. Если же базисная переменная равна 0, то это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса. В нашем случае молоко и наполнитель используются полностью (дефицитны), а спрос – недефицитные ресурсы.

В связи с этим логично поставить вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств на увеличение их запасов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем разделе, где рассматривается ценность различных ресурсов.

 

Ценность ресурса

Ценность ресурса характеризуется величиной улучшения оптимального значения F, приходящегося на единицу прироста объема данного ресурса. Графическая интерпретация этого определения применительно к условиям задачи об ассортименте продукции была дана в п. 3.2.1 (вторая задача на чувствительность). Графический анализ показывает, что ценность ресурсов соответственно равна:

u₁ =16,36 д. е. на единицу прироста запаса молока; u₂=7,27 д.е. на единицу прироста наполнителя; u₃ = 0= u₄ = 0;

Эта информация представлена в оптимальной таблице. Обратим внимание на значения коэффициентов в строке целевой функции (последняя итерация симплекс-таблицы). Значения указанных коэффициентов (16,36; 7,27; 0; 0) в точности соответствуют значениям, полученным при графическом решении.

Несмотря на то что ценность различных ресурсов, определяемая значениями переменных u_j, была представлена в стоимостном (д. е.) выражении, ее нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым возможна закупка соответствующих ресурсов. На самом деле речь идет и некоторой мере, имеющей экономическую природу и количественно характеризующей ценность ресурса только относительно полученного оптимального значения F. При изменении ограничений модели соответствующие экономические оценки будут меняться даже тогда, когда оптимизируемый процесс предполагает применение тех же ресурсов. Поэтому при характеристике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать такие термины, как “теневая цена” или “двойственная” оценка