Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Неотрицательные и положительные матрицы, их свойства.
Определение. Матрица A = [aij] ∈ называется неотрицательной (положительной) и это обозначается как А≥0 (А>0), если аij≥0 (аij>0), i=1,n,j=1,m. Аналогично определяются отношения ≤ и < понятия неположительной (отрицательной) матрицы. Если A-B≥0 (A-B>0), то пишут А≥В (А>В). По определению . Свойства неотрицательных матриц. Пусть А,В Є . 10. |A| ≥0 ∀A; |A| =0⇔A=0. 20.|Ax| ≤ |A| |x|. 30.|Am| ≤ |A|m, ∀m=1,2,... 40.Если 0≤A≤B, то 0≤Am≤Bm, ∀m=1,2,.... 50.Если A>0, x≥0 и x ≠0, то Ax>0. 60.Если |A| ≤ |B|, то ||A||E ≤||B||E. 70.||A||E = AE. Теорема. Пусть A,B∈. Если |A| ≤B, тоρ(A)≤ρ(|A|)≤ρ(B). Следствие. ПустьA, В∈. Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A)≤ρ(B). Лемма. Пусть A∈ иA≥0. Если строчные суммы для А постоянны, то ρ(A)=||A||∞. Если для A постоянны. столбцовые суммы, то ρ(A)=||A||1. Теорема. Пусть A∈ и A≥0. Тогда Следствие. Пусть A∈, А≥0 и. Тогда. В частности, если А>0 или если А неразложима и неотрицательна. Теорема. Пусть A∈ и предположим, чтоА≥0. Тогда для любого положительного вектораxЄCnсправедливы неравенства: Следствие. Пусть A∈, x ∈Rn, и предположим, что A≥0 и x>0. Если числа α,β≥0 таковы, чтоαx≤Ax≤βx, то α≤ρ(A)≤β. Если αx<Ax, то α<ρ(A); если Ax<βx, то ρ(A) <β. Следствие 9.4. Пусть A∈ и A≥0. ЕслиA имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A). Другими словами, если Ax=λx, x>0 и A≥0, то λ=ρ(A) Сравнение спектральных радиусов неотрицательных матриц Теорема Пусть A,B ∈ . Если |A| ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ (|A|) ≤ ρ(B). Доказательство. Во-первых, из свойств неотрицательных матриц следует справедливость следующей цепочки неравенств для ∀ m = 1, 2,...: | |≤ ≤ . Далее из этих неравенств имеем для ∀ m = 1, 2,...: Переходя в последних равенствах к пределу при m → ∞ согласно равенству ρ(A) = получаем соотношения теоремы. Следствие Пусть A,B ∈ . Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ(B).
Теорема Перрона (с доказательством) Теорема (Перрона). Если A ∈ и A > 0, то а) ρ(A) > 0; b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A (ρ (A) = ∈ σ (A)); с) для некоторого ∈ имеем > 0 и A = ρ(A) ; d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A;
е) |λ| < ρ(A) для всякого собственного значения λ ρ(A); другими словами, только одно собственное значение , равное именно ρ(A), имеет максимальный модуль; f) где L ≡ x , Ax = ρ(A)x, y = ρ(A)y, x > 0, y > 0, y = 1. Доказательство: a)- b) Рассмотрим собственное значение λ, такое, что |λ| = ρ(A) > 0, и отвечающий ему собственный вектор x 0. По лемме(пусть еще Ax = λx, x 0 и |λ| = ρ(A). Тогда A|x| = ρ(A) |x| и |x| > 0.) искомым вектором будет |x|. e) По определению |λ| ≤ ρ(A) для всех λ ∈ σ(A). Пусть |λ| = ρ(A) и Ax = λx, x 0. Согласно лемме(для некоторого θ ∈ R имеем x = |x| > 0), Aw = λw, где w = x > 0 для какого-то θ ∈ R. Отсюда, опираясь на следствие(Если A имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A).др.словами λ = ρ(A)), получаем λ = ρ(A). d) ρ(A) есть собственное значение алгебраической кратности 1; другими словами, ρ(A)—это простой корень характеристического уравнения (t) = 0, где (t) —характеристический полином матрицы A. Теорема Перрона-Фробениуса Теорема (Перрона— Фробениуса). Пусть A ∈ неразложима и A ≥ 0. Тогда а) ρ(A) > 0; b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A: ρ(A) = ∈ σ(A); с) для некоторого ∈ имеем > 0 и A = ρ(A) ; d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A.
Теорема Фань-Цзы. Теорема (Фань Цзы). Пусть A∈C n×n и B∈R n×n, B ≥ 0 и B ≥ |A|. Тогда любое собственное значение матрицыA принадлежит области . Доказательство. Будем считать, что B> 0. Если это не так, то можно рассматривать матрицу B ε ≡ [b ij + ε], где ε> 0. ПриэтомB ε > |A| и ρ(B ε) − (b ii + ε) ρ(B) − b ii. По теореме Перрона длякакого-то положительного векто-раx имеем Bx = ρ(B)x. Рассматривая это равенство покомпонентно для ∀i = ⌐i, n, имеем ρ(B)x i = + + ⇒ ρ(B) - , (i = ⌐ 1,n) Положив в (8.4)p i = x i, убеждаемся в (9.1).
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 372; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.224.30.118 (0.01 с.) |