Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Примитивные и импримитивные матрицы. ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
Определение. Пусть неразложимая квадратная матрица A ≥ 0 имеет k собственных значений, равных по модулю ρ(A). Тогда если k = 1, то матрица A называется примитивной. В противном случае A называется импримитивной с индексом импримитивности k. Теорема. Если A ∈Rn×n неотрицательна и примитивна, то , гдеL = xyT, Ax= , ATy= , x>0, y>0, xTy=1. Теорема. ПустьpA(λ) = λn+ a1λn1 +... + atλnt — характеристический полином матрицы A, причемa1, a2,..., at ненулевые и n>n1>... >nt ≥ 0. Вычисляем разности n − n1, n1 − n2,..., nt−1 − nt. Тогда индекс импримитивности k матрицы A равен наибольшему общему делителю разностей n − nj, (j = ⌐1, t) Теорема. Матрица A ≥ 0 примитивна в том и только в том случае, когда Am> 0 для некоторогоm ≥ 1. Доказательство. Предположим, что Am> 0, и, следовательно, Amнеразложима. Далее, из разложимости A следовала бы разложимость Am, а следовательно, Am> 0 означает, что A неразложима. Если бы A имела индекс импримитивности k> 1, то так как собственные значения для Am являются m-ми степенями собственных значений для A, Am также имела бы индекс импримитивности k> 1. Но это противоречило бы теореме Перрона, примененной к положительной матрице Am. Следовательно, k = 1 и A примитивна. Обратно, если Aпримитивна, то ,согласно теореме 9.12, и так как ρ(A) > 0, то для какого-то m ≥ 1 верно Am> 0. Определение. Для любой заданной примитивной матрицы A наименьшее число k такое, что Ak> 0, называется ее индексом примитивности. Теорема (Графовый критерий примитивности). Неразложимая матрица A ≥ 0 примитивна тогда и только тогда, когда g i = 1, (∀i = 1, n). Теорема. Если матрица A∈R n×n неотрицательна, то A примитивна тогда и только тогда, когда A n^2−2n+2 > 0. Свойства примитивных матриц 10. Если A ≥ 0 — примитивная матрица, то Amявляется неотрицательной, неразложимой и примитивной для всехm = 1, 2,.. 20. Если A ≥ 0 — неразложимая матрица с индексом импримитивности k, то существует матрица перестановок P, такая, что PAkPT= , где A i — примитивные матрицы с одним и тем же максимальным собственным значением. 30. Если A> 0, то она примитивна. 40. Если A ≥ 0 неразложима и хотя бы один ее диагональный элемент положителен, то A примитивна. 50. Если A — произвольная неразложимая матрица, B — любая неотрицательная матрица с положительным следом, то их сумма
A + B является примитивной матрицей. 60. Если A∈R n×n неотрицательна и неразложима и имеет d положительных элементов на главной диагонали, где 1 ≤ d ≤ n, то индекс примитивности k ≤ 2n − d − 1. 70. Примитивная матрица всегда устойчива. Стохастические матрицы. Определение. Неотрицательная матрица A ∈R n×n, для которой все строчные суммы равны +1, называется (строчной) стохастической матрицей. Столбцовая стохастическая матрица — это матрица, транспонированная к строчной стохастической матрице. Стохастическая матрица A ∈R n×n, для которой A T также является стохастической, называется двоякостохастической. Теорема. Неотрицательная матрица A является стохастической тогда и только тогда, когда она имеет собственное значение 1 с правым собственным вектором e = . Кроме того, спектральный радиус стохастической матрицы равен 1. Теорема. Пусть A — неотрицательная матрица с максимальным собственным значением λ. Пусть существует положительный правый собственный вектор x, соответствующий λ. Положим X = diag {x1,..., xn}. Тогда A = λXP X−1, где P — стохастическая матрица. Доказательство. Пусть P = λ −1 X −1 AX. Покажем, что P —стохастическая. Так как по определению собственного вектора и собственного значения Ax = λx, то , (i = ⌐1, n).По определению pij = λ−1 a ij x i, и, следовательно , а значит, P — стохастическая. Теорема (Биркгофа). Матрица A∈R n×n является двоякостохастической в том и только том случае, когда для некоторого N< ∞ существуют матрицы перестановокP 1,..., P N ∈R n×n и положительные числа α 1,..., α N ∈R, такие, что α 1 +... + α N = 1 и A = α 1 P 1 +... + α N P N. Теорема. Если A ∈R n×n — неразложимая стохастическая матрица, то матрица A ∞ = существует тогда и только тогда, когда A примитивна.
1. Функции от матриц. 2. Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра 3. Скелетное разложение матрицы: лемма о ранге, лемма о существовании и неединственности скелетного разложения 4. Свойства компонент скелетного разложения A=BC: лемма о невырожденности В*В, СС* 5. Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.
6. Теорема о единственности псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза 7. Свойства псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза 8. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений с использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза 9. Нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений. 10. Матричные уравнения AX = XB 11. Матричные уравнения AX = XA 12. Сопряженное пространство и его базис 13. Ортогональное дополнение сопряженного пространства 14. Сопряжённое отображение 15. Унитарные и ортогональные матрицы. Их свойства 16. Критерии унитарности матрицы 17. Унитарное подобие 18. Теорема Шура об унитарной триангуляризации матриц 19. Спектральная теорема для нормальных матриц 20. Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Их свойства. Эрмитово разложение
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-24; просмотров: 416; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.143.9.115 (0.007 с.) |