Вывод уравнения распространения тепла

|n|=1 внешняя единичная нормаль

U(x,t) – температура реды в т x (x1,x2 x3) в t

плотность среды

С(х) – удельная теплоемкость

K(x) – коэффициент теплопроводности

F(x) – интенсивность источника тепла в х в t

Производная по направлению – скалрное произведение градиента на нормаль

Закон Фурье

Через поверхность S в объем V поступает в промежуток времени [t, t+dt] количество тепла

Составим уравнение баланса тепла

Q₂ – тепло которое возникает внутри за счет самого источника

Q₁ – отток тепла через границу

Изменение температуры u(x,t) за время dt равно u(x, t+dt) – u(x,t)

По т. Лагранжа

На это затрачивается количество тепла

Q₂ – Забирание тепла извне

Q₂ – кол во внутреннего тепла

Q₁ + Q₂ - Q₃ = 0

V – стягиваем в точку

Всилу произвольности V =>

Уравнение теплопроводности

Однородные интегральные уравнения

2 общих интеграла, 2 независимых решения

Примечание

–уравнение с разделяющимися переменными

– решение 1.

Неоднородные уравнения

-решение

- при условии

Находим частные производные по x

Обратно

Пусть функция такая, что функциональное уравнение определяет функцию удовлетворяющую

Доказать

Док во

И

ДУ гиперболического типа

u(x,y,z,t)

f – внешние силы.

u – отклонение частицы пр-ва от положения равновесия

u(x,y,z,t) -?

Волновое уравнение (q=0, p =a²)

Упрощенный вариант гиперболического уравнения

если известны нач возмущения то известна начальная скорость

Формула Кирхгофа

x =x(x1,x2,x3)

y=y(y1,y2,y3)

x-y < at

Гиперболические уравнения 1 типа

1 Краевая задача

 

2 Краевая задача

Параболические уравнения

Уравнение диффузии и теплопроводности

- заданные функции

Задана начальная температура

Формула Пуассона

Уравнения эллиптического типа

Отсутствует зависимость от времени (стационарные процессы)

1 Задача Дирихле

2 Задача

3

Уравнения гиперболического типа. Формула даламбера.

Имеется бесконечная струна

Вывод

Сделаем замену

 

Уравнения гиперболического типа. Формула Даламбера с внешним воздействием.

Пусть

- 1 условие выполнено

- 2 условие выполнено

Уравнения колебаний струны бесконечной справа

Первая краевая задача для конечной струны. Метод Фурье.

Ищем решение в виде

Вторая краевая задача

Колебания струны в среде с сопротивлением

m - коэффициент сопротивления среды

1 краевая

 

Решение краевых задач колебания струны при наличии внешних сил.

Будем искать решение в виде

Случай неоднородных граничных условий.

Делаем замену

 

19 Теорема единственности решения 1 краевой задачи

u1, u2 – решения данной задачи

 

Умножим на и проинтегрируем по х

По т. Лагранжа