Вывод уравнений малых поперечных колебаний струны 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Вывод уравнений малых поперечных колебаний струны



Основные понятия

Начальные условия – картина процесса в некоторый момент t0.

Граничные условия – режим (описание процесса) на границе среды где происходит процесс.

Краевая задача мат физики – ДУ с заданными граничными и начальными условиями (Краевыми условиями).

Корректность.

Краевая задача должна удовлетворять условиям корректности:

1 Решение должно существовать в каком либо классе функций

2 Решение должно быть единственным

3 Решение должно непрерывно зависеть от начальных и граничных данных, от свободных членов, коэффициентов уравнения.

Данные определяются экспериментальным путем, т.е значения получают приближенные.

Решение задачи не должно существенно зависить от погрешности.

Вывод уравнений малых поперечных колебаний струны

Найти u(x, t). закон перемещения струны.

T(x, t) – сила натяжения струны в т х в момент времени t.

Закон Гука

- величина постоянная.

-плотность

Закон Ньютона F=m*a,

Внешние силы: F(x,t) – плотность внешних сил действующих в т х в t

-катет

По теореме о среднем

-достаточно мало =>

Аналогично выводим уравнение продольные колебания струны

S – площадь сечения E(x) – Модуль Юнга.

Вывод уравнения распространения тепла

|n|=1 внешняя единичная нормаль

U(x,t) – температура реды в т x (x1,x2 x3) в t

плотность среды

С(х) – удельная теплоемкость

K(x) – коэффициент теплопроводности

F(x) – интенсивность источника тепла в х в t

Производная по направлению – скалрное произведение градиента на нормаль

Закон Фурье

Через поверхность S в объем V поступает в промежуток времени [t, t+dt] количество тепла

Составим уравнение баланса тепла

Q2 – тепло которое возникает внутри за счет самого источника

Q1 – отток тепла через границу

Изменение температуры u(x,t) за время dt равно u(x, t+dt) – u(x,t)

По т. Лагранжа

На это затрачивается количество тепла

Q2 – Забирание тепла извне

Q2 – кол во внутреннего тепла

Q1 + Q2 - Q3 = 0

V – стягиваем в точку

Всилу произвольности V =>

Уравнение теплопроводности

Однородные интегральные уравнения

2 общих интеграла, 2 независимых решения

Примечание

–уравнение с разделяющимися переменными

– решение 1.

Неоднородные уравнения

-решение

- при условии

Находим частные производные по x

Обратно

Пусть функция такая, что функциональное уравнение определяет функцию удовлетворяющую

Доказать

Док во

И

ДУ гиперболического типа

u(x,y,z,t)

f – внешние силы.

u – отклонение частицы пр-ва от положения равновесия

u(x,y,z,t) -?

Волновое уравнение (q=0, p =a2)

Упрощенный вариант гиперболического уравнения

если известны нач возмущения то известна начальная скорость

Формула Кирхгофа

x =x(x1,x2,x3)

y=y(y1,y2,y3)

x-y < at

Параболические уравнения

Уравнение диффузии и теплопроводности

- заданные функции

Задана начальная температура

Формула Пуассона

Вторая краевая задача

Уравнение Бесселя

Разделим на х

Решение будем искать в виде

Коэффициенты с нечетными номерами

Коэффициенты с четными номерами

-Функция Бесселя

Общее решение:

Полином Лежандра

(-1, 1)

Для

Ортогональная система

Разложение по ортогональному базису

Перфая формула Грина

G – область

n – единичная нормаль

Вторая формула Грина

Следствие

Тогда 1 формула Грина будет

Теорема. Принципмаксимумов

Если функция u(x) ≠const –Гармоническая в G и D в G –ограниченная область то

В неограниченной области теоремаа не верна

Док во

пусть

Это возможно если

Если хотя бы в одной точке то среднее значение

ДУ эллиптического вида

Задача в море

Это ф-ла пуассона

Формула грина для шара

A,A*- сопряженные точки

- гармогическая функция

Решение задачи дирихле

 

 

Задача Дирихле

Док во

 

Не завити от e поэтому e можно устремить к 0

Следствие

Решение задачи Дирихле в шаре

Решение уравнения Пуссона

 

 

Док во

Какаято теорема

Пусть тогда

 

Основные понятия

Начальные условия – картина процесса в некоторый момент t0.

Граничные условия – режим (описание процесса) на границе среды где происходит процесс.

Краевая задача мат физики – ДУ с заданными граничными и начальными условиями (Краевыми условиями).

Корректность.

Краевая задача должна удовлетворять условиям корректности:

1 Решение должно существовать в каком либо классе функций

2 Решение должно быть единственным

3 Решение должно непрерывно зависеть от начальных и граничных данных, от свободных членов, коэффициентов уравнения.

Данные определяются экспериментальным путем, т.е значения получают приближенные.

Решение задачи не должно существенно зависить от погрешности.

Вывод уравнений малых поперечных колебаний струны

Найти u(x, t). закон перемещения струны.

T(x, t) – сила натяжения струны в т х в момент времени t.

Закон Гука

- величина постоянная.

-плотность

Закон Ньютона F=m*a,

Внешние силы: F(x,t) – плотность внешних сил действующих в т х в t

-катет

По теореме о среднем

-достаточно мало =>

Аналогично выводим уравнение продольные колебания струны

S – площадь сечения E(x) – Модуль Юнга.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-23; просмотров: 751; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.88.254.50 (0.214 с.)