Прямое и непрямое (косвенное) доказательство

 

Доказательства по форме делятся на прямые и непрямые (косвенные).

Прямое доказательство идет от рассмотрения ар­гументов к доказательству тезиса, т.е. истинность тезиса непо­средственно обосновывается аргументами. Схема этого доказате­льства такова: из данных аргументов (а, b, с...) необходимо следует доказываемый тезис q. По этому типу проводятся до­казательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочине­ниях школьников, при изложении материала учителем и т. д.

Широко используется прямое доказательство в статистичес­ких отчетах, в различного рода документах, в постановлениях, в художественной и другой литературе. Приведем пример прямо­го доказательства, использованного И. Буниным в стихотворе­нии «В степи».

А к нам идет угрюмая зима:

Засохла степь, лес глохнет и желтеет,

Осенний ветер, тучи нагоняя,

Открыл в кустах звериные лазы,

Листвой засыпал долы и овраги,

И по ночам в их черной темноте,

Под шум деревьев, свечками мерцают,

Таинственно блуждая, волчьи очи...

Да, край родной не радует теперь!

Прямым является и такое доказательство. «Была жуткая ночь: выл ветер, дождь барабанил в окна. И вдруг среди грохота бури раздался вопль ужаса» (А. Конан Дойл).

На уроке истории при прямом доказательстве тезиса «На­род — творец истории» учитель, во-первых, показывает, что на­род является создателем материальных благ, во-вторых, обосно­вывает огромную роль народных масс в политике, в-третьих, раскрывает его большую роль в создании духовной культуры.

На уроках химии прямое доказательство горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма:

Все углеводы горючи.

Сахар — углевод.

_________________

Сахар горюч.

 

В современном журнале мод «Бурда» с помощью прямого доказательства тезис «Зависть — корень всех зол» обосновывает­ся следующими аргументами: «Зависть не только отравляет людям повседневную жизнь, но может привести и к более серьезным последствиям, поэтому наряду с ревностью, злобой и ненавистью, несомненно, относится к самым плохим чертам характера.

Подкравшись незаметно, зависть ранит больно и глубоко. Человек завидует благополучию других, мучается от сознания того, что кому-то более повезло».

Непрямое (косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путем доказательства ложности антитезиса. Если тезис обозначить бук­вой а, то его отрицание будет антитезисом, т. е. проти­воречащим тезису суждением.

Апагогическое косвенное доказательство (или доказательство «от противного») осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. Этот метод часто использует­ся в математике.

Пусть а — тезис (или теорема), который надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а Из допущения а выводим следствия, которые противоречат действительности или ранее известным теоремам. Имеем при этом а ложно, значит, истинно его отрицание, т. е. , которое по закону двузначной классической логики дает а. Значит, истинно а, что и требовалось доказать.

Следует заметить, что в конструктивной логике формула не является выводимой, поэтому ею в доказательствах в конст­руктивной математике и конструктивной логике пользоваться нельзя; закон исключенного третьего также «отвергается» (не является выводимой формулой), поэтому косвенные доказатель­ства там не применяются.

Примеров доказательства «от противного» очень много в школьном курсе математики. Так, например, методом «от противного» доказывается теорема: «Если две прямые перпен­дикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны». Доказательство этой теоремы начинается словами: «Предполо­жим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны». Тогда они пересекаются и образуют треугольник с двумя внут­ренними прямыми углами, поэтому сумма всех трех внутренних углов треугольника больше 180°. Но это противоречит ранее доказанной теореме о том, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Следовательно, наше предположение, что АВ и CD не парал­лельны, ложно, из чего (по закону исключенного третьего) вытекает доказанность теоремы о параллельности прямых АВ и CD.

Разделительное доказательство (методом исключения). Анти­тезис является одним из членов разделительного суждения, в ко­тором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы, например:

 

Преступление могли совершить только либо А_, либо В, либо С.

Доказано, что не совершали преступление ни Л, ни В.

_______________________________

Преступление совершил С.

 

Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного суждения, кроме одного.

Здесь применяется структура отрицающего - утверждающего мо­дуса разделительно-категорического силлогизма. Заключение бу­дет истинным, если в разделительном суждении предусмотрены все возможные случаи (альтернативы), т. е. если оно является закрытым (полным) дизъюнктивным суждением.

(1)

Как ранее отмечалось, в этом модусе союз «или» может употребляться как строгая дизъюнкция (v) и как нестрогая дизъюнкция поэтому ему соответствуют две логические

схемы (1 и 2).

(2)

 

Понятие опровержения

 

Опровержение — логическая операция установления ложно­сти или необоснованности ранее выдвинутого тезиса.

Опровержение должно показать, что: 1) неправильно постро­ено само доказательство (аргументы или демонстрация); 2) вы­двинутый тезис ложен или не доказан.

Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опровержения.

Суждения, с помощью которых опровергается тезис, называются аргументами опровержения.

Существуют три способа опровержения: 1) опровержение те­зиса (прямое и косвенное); 2) критика аргументов; 3) выявление несостоятельности демонстрации.