Розглянемо подію: А – власники 4-х квитків: 2 хлопчика і 2 дівчинки.

, .

За формулою числа сполучень обчислимо:

; .

.

Ймовірність того, що власниками 4-х квитків будуть 2 хлопчики і 2 дівчинки дорівнює:

.

 

Приклад 2. По цілі зроблено 20 пострілів, причому зафіксовано 18 влучень. Знайти відносну частоту влучень в ціль.

Розв’язання. Нехай подія А – влучення в ціль. Всього було зроблено =20 пострілів, з них =18 влучень. Тоді відносна частота влучень в ціль за формулою (1.2) дорівнює

.

Приклад 3. Два лиця А і В домовилися зустрітися в визначеному місці, при цьому кожний з’являється туди в любий момент часу між 11 і 12 годинами і дожидає на протязі 20 хвилин. Якщо партнер до цього часу ще не прийшов або вже покинув домовлене місце, зустріч не відбулася. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться.

Розв’язання. Позначимо моменти приходу в визначене місце лиць А і В через і . В прямокутній системі координат візьмемо за початок відліку 11 годин, а за одиницю вимірювання –1 год. За умовою , . Цим нерівностям задовольняють координати любої точки, що належить квадрату зі стороною 1. Нехай подія – зустріч двох лиць – відбудеться, якщо різниця між і не перевищує часу (по абсолютній величині), тт. . Розв’язком останньої нерівності є смуга , що знаходиться в середині квадрата (площа g) (рис.1). За формулою (13) маємо

.

Площа g дорівнює площі квадрата без суми площ двох кутових не замальованих трикутників.

 

Приклад 4. В групі 25 студентів. Необхідно вибрати старосту, його замісника і профорга. Скільки існує способів це зробити?

Розв’язання. Групування по 3 чоловіки з 25 можна здійснити способами. Але серед вибраних 3 - х студентів теж важливо розподілення посад, а це можна зробити способами. Тому маємо задачу на розміщення

 

Приклад 5. Потяг має 5 вагонів, які можна причепити в різному порядку. Скільки існує варіантів сформувати потяг з даної кількості вагонів.

Розв’язання. Кожний варіант формування потягу відрізняється тільки місцем розташування вагонів, тт. маємо задачу на перестановки з 5 елементів

 

Приклад 6. Скількома способами можна вибрати 3 фарби з 7, що є в наявності.

Розв’язання. Шукане число способів визначається комбінаціями з 7 елементів по 3 елементи. Отже,

 

Приклад 7. Серед 15 мікрокалькуляторів, що наявні в обчислювальній лабораторії, лише 6 нових, а інші – були у вжитку. Навмання узято три мікрокалькулятори. Яка ймовірність, що усі вони виявляться новими?

Розв'язання.

Розглянемо події:

А — перший з узятих мікрокалькуляторів новий;

В — другий мікрокалькулятор новий;

С — третій мікрокалькулятор новий.

Тоді .

Ймовірність того, що другий мікрокалькулятор буде новий, за умови, що першим уже був відібраний новий мікрокалькулятор, тобто умовна ймовірність події В, дорівнює

Ймовірність того, що третім буде відібраний новий мікрокалькулятор за умови, що уже відібрано два нових мікрокалькулятори, тобто умовна ймовірність події С, дорівнює

Шукана ймовірність того, що всі три відібраних мікрокалькулятори виявляться новими, дорівнює

.

Приклад 8. Три стрільці здійснюють по одному пострілу в ціль незалежно один від одного. Ймовірності влучення в ціль для кожного з них рівні відповідно 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірність того, що: а) у ціль потрапить тільки один стрілець; б) у ціль потраплять тільки два стрілці; в) у ціль потрапить хоча б один стрілець.

Розв'язання.

а) Розглянемо такі події:

А₁ — перший стрілець потрапив у ціль;

А₂ — другий стрілець потрапив у ціль;

А₃ — третій стрілець потрапив у ціль;

Ā₁ — перший стрілець не потрапив у ціль;

Ā₂ — другий стрілець не потрапив у ціль;

Ā₃ — третій стрілець не потрапив у ціль.

За умовою

P(A₁)=0,7; P(A₂)=0,8; Р(А₃)=0,9; P(Ā₁)=1-0,7=0,3; Р(Ā₂)=0,2; Р(Ā₃)=0,1.

Нехай подія В — потрапив тільки один стрілець. Тоді

В = А₁Ā₂Ā₃+ Ā₁А₂Ā₃+ Ā₁Ā₂А₃

Звідси у силу умисності подій-доданків і незалежності подій-співмножників

б) Нехай подія С — потраплять тільки дві стрільці. Тоді

С= А₁А₂Ā₃+А₁Ā₂А₃+Ā₁А₂А₃,

Звідси

в) Нехай подія D — потрапив хоча б один стрілець. Тоді протилежна подія D — не потрапив жоден з них, тобто:

P(D) = 1-Р(D) = 1-0,006=0,994

Приклад 9. На зборку надійшло 40% деталей заводу №1, 50% деталей заводу №2 і 10% деталей заводу №3. Перший завод дає 1% браку, другий–0,1%, третій 0,3%. Беруть навмання одну деталь. Яка ймовірність того, що вона буде бракованою?

Розв'язання.

Подія А – деталь бракована.

Події: B₁ – деталь виготовлена заводом №1.

B₂ – деталь виготовлена заводом №2.

B₃ – деталь виготовлена заводом №3.

Знайдемо ймовірності появи кожної з подій:

Сума ймовірностей усіх подій повинна дорівнювати 1, тому що події утворюють повну групу.

Умовні ймовірності появи бракованої деталі (у залежності від заводу виробника) відповідно рівні:

За формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність появи бракованої деталі:

.

 

Приклад 10. У наявності є 10 урн. У 3-х з них 4 білі, 6 чорних куль. У 5-ти – 7 білих, 3 чорні кулі. У 2-х – 2 білі, 8 чорних куль. Навмання узята куля виявилася білою. Яка ймовірність того, що вона взята з 3-ої групи урн?

Розв'язання.

Подія А – куля біла.

Події: B₁ – куля узята з першої групи урн.

B₂ – куля узята з другої групи урн.

B₃ – куля узята з третьої групи урн.

Знайдемо ймовірність появи кожної з подій:

Обчислимо умовні ймовірності появи білої кулі:

Знайдемо ймовірність появи білої кулі:

За формулою Бейєса визначимо шукану ймовірність:

Повторення випробувань

Формула Бернуллі.

Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р , подія наступить рівно k разів (все рівно, в якій послідовності):

P_n (k)= , де .

При великих значеннях n використовують теореми Лапласа.

Число k ₀ (настання подій А в n незалежних випробувань) називається найімовірнішим, якщо ймовірність того, що подія А настане у k ₀ разів перевищує ймовірності інших можливих результатів.

.

Локальна теорема Лапласа.

Ймовірність того, що в n незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р , подія наступить рівно k раз (все рівно, в якій послідовності):

де - функція Лапласа, обумовлена в таблиці (Додаток 1).

При x>4, =0, .

Інтегральна теорема Лапласа.

Ймовірність того, що в n незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р , подія наступить не менше k₁ разів і не більше k₂ разів, приблизно дорівнює:

де

.

- функція Лапласа, обумовлена у таблиці (Додаток 2).

При , = 0,5. .

При великому числі випробувань n при малій ймовірності появи р події в кожнім окремому випробуванні для підрахунку ймовірності використовують формулу Пуассона:

де .

Приклад 11. Ймовірність улучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,4. Знайти ймовірність 3-х улучень при 5-ти пострілах.

Розв'язання.

За формулою Бернуллі визначимо шукану ймовірність

Приклад 12. На підприємстві75% усієї продукції – продукція вищої якості. Знайти ймовірність того, що в партії зі 150 виробів: а) 100 виробів виявиться вищої якості; б) не менше 50 виробів виявиться вищої якості.

Розв'язання.

а) Скористаємося локальною теоремою Лапласа: n=150, k=100, p=0,75. Подія А – поява виробу відмінної якості.

за таблицею (Додаток 1) визначимо тоді:

Р(А)=Р₁₅₀(100)

б) де

отже:

Р₁₀₀(50,150) 0,5-(-0,5)=1.