Розрахунково-графічне завдання № 2

Тема. Графи електричних кіл. Метод законів Кірхгофа

Мета: розрахунок складних електричних кіл за допомогою методу законів Кірхгофа.

 

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо на прикладі складання системи рівнянь методом законів Кірхгофа (МЗК).

Проаналізуємо схему, зображену на рис 2.1, а. Довільно позначимо напрямки струмів у гілках кола. Будемо вважати, що струми та напруги пасивних елементів узгоджені, тобто збігаються за напрямком.

Кількість вузлів n_В = 5, кількість гілок n_Г = 8 (будемо вважати, що номери гілок збігаються з номерами струмів), кількість джерел струму n_ДС = 1. Побудуємо дерево графа (рис. 2.1, б). З’єднаємо всі вузли за допомогою існуючих гілок таким чином, щоб вони не утворювали замкнутих контурів. Такі гілки називаються ребрами і їх кількість визначається за формулою:

n_Р = n_В – 1,

тобто n_Р = 5 – 1 = 4. Ребрами не можуть бути гілки з джерелами струму, а для нашого прикладу це гілка зі струмом i ₇.

а)

б)

Рисунок 2.1 – Електрична схема (а) та її дерево графа (б)

 

З можливих комбінацій виберемо ребрами гілки, що на рисунку зображені суцільними лініями. Усі останні гілки називають хордами (позначені пунктирними лініями) і їх кількість:

n_Х = n_Г – n_Р = n_Г – (n_В – 1),

тобто n_Х = 8 – (5 – 1) = 4.

Запишемо систему рівнянь за МРК.

За законом струмів Кіргхофа (ЗСК) кількість рівнянь: n_ЗТК = n_В – 1 = 4.

Один з вузлів схеми беруть за базисний і для нього рівняння не записують. У нашому випадку візьмемо за базисний вузол 5.

Рисунок 2.2 – Електрична схема з нанесеними контурами

Запишемо рівняння відповідно до рис. 2.2:

– для вузла 1: – i ₁ + i ₂ – i ₆ = 0;

– для вузла 2: – i ₂ + i ₃ – i ₇ = 0.

– для вузла 3: – i ₃ – i ₄ + i ₈ = 0.

– для вузла 4: i ₁ + i ₄ + i ₅ = 0.

Замінимо струми ємностей через відповідні напруги. У нашому випадку:

. Тоді:

Рівняння за законом напруг Кіргхофа (ЗНК) записуються відносно незалежних контурів, конфігурація яких визначається вибраним деревом графа. Окремий контур може містити тільки одну хорду. Для контуру, який містить джерело струму, рівняння не записується (контур III, рис. 2.2). Отже, кількість рівнянь за ЗНК:

n_ЗНК = n_Х – n_ДС = n_Г – (n_В – 1) – n_ДС.

У нашому випадку n_ЗНК = 8 – (5 – 1) – 1 = 3 і рівняння мають вигляд:

– для І контуру: – U_Г – U_R1 –U_С1 = 0;

– для IІ контуру: U_R1 + U_L1 +U_L2 + U_R2 = 0;

– для ІV контуру: – U_R2 – U_R3 + U_С1 = 0;

Виразимо напруги на резисторах і котушках індуктивності через відповідні струми:

, .

Тоді з урахуванням заміни:

Об’єднаємо рівняння ЗТК і ЗНК у систему рівнянь. Урахуємо, що .

Отже, маємо сім невідомих величин (i ₁, i ₂, i ₃, i ₄, i ₆, i ₈, U_C1) і сім рівнянь.

 

Завдання до теми

1. Скласти та накреслити схему, що буде аналізуватися, та позначити її елементи.

2. Вибрати дерево графа і записати рівняння ЗНК. За допомогою рівнянь елементів виключити напруги на резисторах та індуктивностях.

3. Записати рівняння ЗТК. За допомогою рівнянь елементів виключити струми ємностей.

Схема, що буде аналізуватися, складається відповідно до графа рис. 2.3 та коду, який задається табл. 2.1. Перша цифра коду визначає номер гіл­ки, до якої вмикають джерело напруги; друга – номер гілки, до якої вмикають джерело струму; третя та четверта – номери гілок, до яких увімкнені індуктивності; п’ята і шоста – номери гілок, до яких увімкнені ємності. До інших гілок вмикають резистори. Напрямленість джерел вибирають довільно.

Рисунок 2.3

Таблиця 2.1

Варіант	Код	Варіант	Код	Варіант	Код
	1 2 4 5 6 3		8 4 5 6 3 7		7 8 3 5 6 4
	2 4 5 6 3 1		1 2 3 5 6 4		8 3 5 6 4 7
	4 5 6 3 1 2		2 3 5 6 4 1		1 2 3 4 5 6
	5 6 3 1 2 4		3 5 6 4 1 2		2 3 4 6 5 1
	6 3 1 2 4 5		5 6 4 1 2 3		3 4 6 5 1 2
	3 1 2 4 5 6		6 4 1 2 3 5		4 6 5 1 2 3
	2 4 5 6 3 7		4 1 2 3 5 6		6 5 1 2 3 4
	4 5 6 3 7 2		2 3 5 6 4 7		5 1 2 3 4 6
	5 6 3 7 2 4		3 5 6 4 7 2		2 3 4 6 5 7
	6 3 7 2 4 5		5 6 4 7 2 3		3 4 6 5 7 2
	3 7 2 4 5 6		6 4 7 2 3 5		6 5 7 2 3 4
	7 2 4 5 6 3		4 7 2 3 5 6		4 6 5 7 2 3
	4 5 6 3 7 8		7 2 3 5 6 4		5 7 2 3 4 6
	5 6 3 7 8 4		3 5 6 4 7 8		7 2 3 4 6 5
	6 3 7 8 4 5		5 6 4 7 8 3		3 4 6 5 7 8
	3 7 8 4 5 6		6 4 7 8 3 5		4 6 5 7 8 3
	7 8 4 5 6 3		4 7 8 3 5 6

Контрольні питання

1. У чому полягає відмінність між методами струмів гілок і напруг гілок, що використовують для методу законів Кірхгофа (МЗК)? Чи є вони еквівалентними?

2. Чим визначається кількість незалежних рівнянь у системі, складеній
за МЗК?

3. Які існують рекомендації для вибору конфігурації незалежних контурів схеми?

4. Які існують рекомендації для вибору базисного вузла схеми?

5. Література: [1–4].