Формы аналитического описания сигналов

Возможна форма представления сигналов с помощью спектров. Сигнал x () рассматривается как совокупность элементарных сигналов _ (), умноженных на коэффициенты c_ и составляющих систему функций { _ ()} определенного типа: . (3.1)

При этом система функций { _ ()} называется базисной, а представление сигнала в виде (3.1) - его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом (многочленом). Если сигнал x () является комплексным, то и коэффициенты c_ и система базисных функций { _ ()} также будут являться комплексными.

Если система функций выбрана, то сигнал полностью характеризуется набором (вектором) спектральных коэффициентов { c_ } - его спектром.

В общем случае ряд (3.1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. При практических расчетах такой ряд обычно ограничивают (усекают). В этом случае представление сигнала будет приближенным (3.2) и имеет место аппроксимация сигнала x () конечным рядом (3.2).

При этом необходимо сформулировать критерий приближения.

1. Можно потребовать, чтобы максимальное значение погрешности аппроксимации было минимальным на заданном интервале определения функции x (). Этот вид аппроксимации, при котором минимизируется величина , называется равномерным приближением.

2. В качестве критерия приближения можно выбрать среднюю погрешность

, где T = _max - _min. Такая аппроксимация называется приближением в среднем.

3. Если в качестве меры представления принимается минимум среднеквадратичной погрешности , то такой вид аппроксимации называется приближением в среднеквадратическом.

Все рассмотренные критерии приближения взаимосвязаны. Если ряд (3.2) сходится к x () равномерно, то он тем более сходится среднеквадратически. Из среднеквадратической сходимости вытекает сходимость в среднем.

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (3.1) было возможным, система базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

1) Быть упорядоченной системой линейно независимых функций.

2) Быть полной, для того, чтобы по выбранной системе функций можно было разложить любой сигнал из заданного множества.

3) Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равным размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества.

Наиболее удобно если базисная система ортогональна.

При представлении сигналов в форме (3.2) необходимо определить способ вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от используемого метода аппроксимации (вида принятого критерия сходимости). В случае применения среднеквадратического критерия коэффициенты c_, выбирают таким образом, чтобы среднеквадратическая ошибка s была минимальной. Это достигается с помощью обобщенной формулы Фурье расчета спектра: [1/(Q )]· . (3.10)

Увеличивая неограниченно число членов в аппроксимирующем многочлене с коэффициентами в форме (3.10), получим в пределе равенство = , выполняемое при s. При этом аппроксимирующий многочлен примет вид бесконечного ряда, называемого обобщенным рядом Фурье.

В спектральном представлении (3.1) и в формуле расчета спектра (3.10) базисные функции являются функциями двух переменных  и , а спектральные коэффициенты - функциями переменной . Это приводит к симметрии выражений (3.1) и (3.10), называемых соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, из которой следует математическое равноправие функций и с_ как различных форм представления сигнала.

(3.12) – решетчатая функция. Для дискретных функций, удовлетворяющих условию , справедлива следующая формула для определения спектра:

[1/(Q )]· . (3.16)

Формулы (3.12) и (3.16) представляют собой дискретные преобразования Фурье.