Определение прямой в пространстве

 

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей; либо точкой и направляющим вектором прямой.

Прямая в пространстве не определяется через нормальный вектор, т.к. любая прямая имеет в каждой своей точке бесконечное множество нормальных векторов.

Виды уравнений прямой в пространстве

 

1) Каноническое уравнение прямой:

,

где (m;n;p) – направляющий вектор прямой; - координаты заданной точки прямой.

 

2) Уравнение прямой,проходящей через две точки М₁ (х₁;у₁;z₁) и М₂ (х₂;у₂;z₂):

.

 

3) Общее уравнение прямой в пространстве:

Каждое из уравнений системы является уравнением плоскости, прямая – линия пересечения двух плоскостей.

 

4) Параметрическое уравнение прямой:

,

где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой; - координаты заданной точки прямой, t – параметр, -¥< t <+¥.

 

Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

 

Пусть две прямые в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

Задача определения угламежду этими прямыми сводится к определению угла j между их направляющими векторами (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂). По определению скалярного произведения:

Условие параллельности прямых L₁ и L₂, эквивалентное условию коллинарности векторов (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂), заключается в пропорциональности координат их направляющих векторов:

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ выражается равенством нулю скалярного произведения векторов и :

m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0.

Условие принадлежности прямых одной плоскости

 

Две прямые L₁ и L₂ в пространстве могут: пересекаться, быть параллельными, скрещиваться. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.

Для принадлежности одной плоскости прямых L₁ и L₂, заданных каноническими уравнениями:

,

необходимо и достаточно, чтобы три вектора (x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁), (m₁;n₁;p₁) и (m₂;n₂;p₂) были компланарны. Тогда необходимым и достаточнымусловием принадлежности двух прямых L₁ и L₂ одной плоскости является равенство нулю их смешанного произведения:

Если прямые удовлетворяют этому условию, то они либо пересекаются, либо параллельны. Определить, как эти прямые располагаются в плоскости, позволяет условие параллельности прямых.

 

Прямая принадлежит плоскости p: Ах+By+Cz+D=0, если выполнены два условия:

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0;

Am+Bn+Cp=0.

Первое из них означает, что точка М₀ (x₀,y₀,z₀), через которую проходит прямая, принадлежит плоскости, а второе есть условие параллельности прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости