Заочной формы обучения специальностей 020803 (0135), 110901 (3117).

www.msta.ru

 

Москва – 2006

 

УДК 51

 

Ó Калашникова А.В. Математика. Методические указания по практическим занятиям. – М., МГУТУ, 2006.

 

 

Пособие разработано в соответствии с программой по высшей математике для вузов. Содержит задания для проведения практических занятий по важнейшим разделам курса.

Приведены основные теоретические сведения, решения типовых задач и примеров, задачи и упражнения для самостоятельной работы.

 

Автор: Калашникова Альбина Васильевна

 

Рецензент: старший преподаватель Родионова Е.Н.

 

 

Редактор: Свешникова Н.И.

 

 

ÓМосковский государственный университет технологий и управления, 2006

109004, Москва, Земляной вал, 73.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение……………………………………………………………...………..4

2. Занятие 1. Прямая на плоскости……………………………………………...5

3. Занятие 2. Элементы векторной алгебры…………………………………...7

4. Задание 3. Вычисление пределов функций………………………………….9

5. Занятие 4. Производная и дифференциал…..……………………………....11

Исследование функций.

6. Занятие 5. Неопределенный интеграл……………………………………....14

7. Занятие 6. Определенный интеграл…………………………………………15

Нахождение площадей плоских фигур

8. Занятие 7. Дифференциальные уравнения……………………………….…18

9. Занятие 8. Элементы теории вероятностей…………………………………20

10. Литература……………………………………………………………...……26

Введение

 

Данное пособие предназначено для студентов-заочников специальностей «Биоэкология» и «Водные ресурсы и аквакультура». Оно содержит задания для проведения практических занятий по темам: аналитическая геометрия, предел функции, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теория вероятностей. Каждое практическое занятие включает перечень вопросов для подготовки к занятиям, решение типовых задач и примеров, а также задания для самостоятельной работы над изучаемым материалом.

Предлагаемый материал поможет студенту-заочнику при закреплении теоретических знаний на практических занятиях и при самостоятельном изучении указанных разделов.

ЗАНЯТИЕ 1. (4 часа)

 

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.

Прямая линия

 

 

Цель занятия: Научиться пользоваться формулами для решения простейших задач, освоить различные виды уравнений прямой.

 

Вопросы

 

1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

2. Различные виды уравнений прямой.

3. Угол между двумя прямыми.

4. Расстояние от точки до прямой.

 

Решение типовых задач

 

1. Найти расстояние между точками А(-3;4) и В(5; -2).

Решение. Расстояние d между двумя точками и равно

.

По этой формуле получаем:

.

2. Найти координаты точки , делящей отрезок между точками и в отношении 1:2.

Решение. Воспользуемся формулами

и .

; ; ; ; .

Следовательно, координаты точки С выразятся так:

.

Итак, .

3. Дано уравнение прямой . Проверить, лежат ли на этой прямой точки и .

Решение: Подставляя в данное уравнение координаты точки А вместо текущих координат, получим ; значит точка А лежит на данной прямой. Для точки В ; значит точка В не лежит на данной прямой.

4. Найти уравнение прямой, образующей с осью ОХ угол 135⁰ и пересекающей ось Оу в точке (0;5).

Решение. Из условия задачи следует, что отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, b=5, угловой коэффициент . Следовательно, по формуле имеем .

2) Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью ОХ угол 45⁰.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

.

Согласно условию ; и , следовательно, искомое уравнение прямой будет:

или .

3) Найти угол между двумя прямыми:

и .

Решение: Имеем . Используем формулу . Получаем ; .

7. Проверить параллельность прямых

и

Решение. Приводим уравнение каждой прямой к виду , получаем и , откуда . Следовательно, прямые параллельны.

8. Доказать, что прямые и взаимно перпендикулярны.

Решение. Приведя уравнения прямых к виду , получаем и , откуда и , при этом выполняется условие ; следовательно, данные прямые перпендикулярны.

9. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение. Воспользуемся формулой

.

Имеем , - уравнение прямой;

получаем .

 

Задания для самостоятельного работы

1. Построить прямые, заданные уравнениями:

1) ;

2) ;

3) .

2. Найти угловые коэффициенты прямых:

1) ;

2) .

3. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку параллельно прямой, соединяющей точки и .

4. Найти уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки и .

5. Найти расстояние от точек:

1) ;

2)

до прямой .

6. Найти длину высоты в треугольнике с вершинами

 

Занятие 2. (2 часа)

Элементы векторной алгебры

Цель занятия: Научиться выполнять линейные операции над векторами; освоить скалярное произведение двух векторов.

 

Вопросы

1. Векторы. Действия над векторами.

2. Прямоугольные координаты вектора на плоскости и в пространстве. Разложение вектора по ортам. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

3. Скалярное произведение. Нахождение угла между векторами.

 

Решение типовых задач

1. В прямоугольной системе координат Oxyz точка М имеет координаты . Найти координаты ее радиус-вектора .

Решение. Абсцисса , ордината , аппликата . Следовательно, . Радиус-вектор лежит в плоскости xОу.

2. Найти координаты X, Y, Z суммы векторов .

Решение. .

Следовательно, сумма векторов . Искомый вектор параллелен плоскости yOz так как его компонента по оси Оx равна нулю.

3. Найти сумму векторов .

Решение. . Результат запишем так: . Вектор коллинеарен с осью оу.

4. Найти координаты вектора , если и .

Решение. . Следовательно, .

5. Найти длину вектора , если и .

Решение. Воспользовавшись формулой , получим .

6. Найти скалярное произведение векторов , .

Решение. Скалярное произведение векторов найдем по формуле: . Получаем .

7. Найти угол между векторами и .

Решение. Воспользуемся формулой:

.

отсюда

 

Задания для самостоятельного решения

1. Написать выражения компонент вектора по осям координат.

2. Написать разложение вектора по координатным ортам.

3. Даны векторы и . Найти векторы , , .

4. Записать в векторной форме отрезок, соединяющий две точки и .

5. Длины векторов и равны и угол между векторами

. Найти скалярное произведение векторов.

6. Найти длины векторов и скалярное произведение этих векторов.

7. Найти угол между векторами .

 

ЗАНЯТИЕ 3 (4 часа)

Вычисление пределов функций

Цель занятия: Освоить основные приемы вычисления пределов функций.

 

Вопросы

1. Область определения функции. Предел функции.

2. Основные теоремы о пределах функции.

3. Понятие о непрерывности функции.

4. Замечательные пределы.

 

Решение типовых задач

 

1. Найти .

Решение. Для нахождения предела данной функции заменим аргумент его предельным значением:

.

2. Найти .

Решение. Проверим, не обращается ли знаменатель дроби в нуль при : имеем . Подставив предельное значение аргумента, находим

.

3. Найти .

Решение. Здесь имеем неопределенность типа . Для того, чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель дроби на множители и до перехода к пределу сократим дробь на множитель . В результате получим .

4. Найти .

Решение. Здесь пределы числителя и знаменателя при равны 0. Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим

5. Найти

Решение. При имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на . Тогда получим

6. Найти .

Решение. Здесь для раскрытия неопределенности применим первый замечательный предел .

7. Найти

Решение. Имеем

.

8. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом

.

Получаем .

 

Задания для самостоятельного решения

Найдем пределы:

1. 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

 

ЗАНЯТИЕ 4 (4 часа)