Производная и дифференциал функции.

Исследование функций и построение графиков

Цель занятия: Научиться находить производные основных элементарных функций, уметь исследовать функции с помощью производной.

 

Вопросы

1. Понятие производной.

2. Правила дифференцирования. Формулы дифференцирования.

3. Дифференциал функции.

4. Возрастание и убывание функции.

5. Экстремумы функции. Условия экстремума функции.

6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

7. Построение графиков функций.

 

Решение типовых задач

1. Найти производные следующих функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. Вычислим производные данных функций:

а) .

 

б)

в) .

2. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение. а) .

б) .

3. Найти производную 2-ого порядка от функции .

Решение. . Дифференцируя производную , получаем: .

4. Найти дифференциалы функции:

а) ; б) .

Решение. а) Вычислим производную функции:

.

Дифференциал функции найдем по формуле :

.

б) Вычислим дифференциал по аналогии с предыдущим примером:

.

5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции: .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пусть , тогда ;

График пересекает ось Ох в точках и .

4. Найдем интервалы возрастания и убывания и экстремумы функции.

Найдем

при и .

Выясним знак в окрестности критических точек.

 

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, - точка минимума функции.

.

Функция убывает на интервале на и возрастает на интервале .

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка

;

, .

Исследуем знак в окрестности точек и .

 

 

 

 

 

В интервале кривая вогнута, в интервале кривая выпуклая, в интервале кривая вогнута.

Итак, при переходе через точки и вторая производная меняет знак. Следовательно, кривая имеет две точки перегиба: и . Найдем ординаты точек перегиба

; .

6. Построим график функции

 

 

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите производные и дифференциалы указанных функций:

1. ; ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. .

 

2. Найдите значение производной функции в заданной точке :

, .

3. Найдите производные второго порядка функций:

а) ; б) .

4. Определите точки экстремума функций:

1) ; 2) .

5. Исследуйте функцию и постройте ее график

.

 

ЗАНЯТИЕ 5 (4 часа)

Неопределенный интеграл

Цель занятия: Освоить основные методы интегрирования.

 

Вопросы

1. Неопределенный интеграл, его основные свойства. Таблица основных интегралов.

2. Методы интегрирования (непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям).

Решение типовых задач

Найти неопределенные интегралы:

а) .

Решение. Воспользуемся методом непосредственного интегрирования:

.

б) .

Решение. Применим подстановку , откуда . Дифференцируя, получаем , следовательно,

.

в) .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого полагаем . Согласно формуле интегрирования по частям , получим:

.

 

Примеры для самостоятельного решения

4) Найти неопределенные интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

 

ЗАНЯТИЕ 6 (4 часа)