Законы Де Моргана. Законы склеивания.

6. Закон де Моргана	6’. Закон де Моргана
8. Закон склеивания	8’. Закон склеивания

 

Свойства операций над множествами:

Примеры:

1. Множество детей является подмножеством всего населения.

2. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

3. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действи-

тельных чисел.

4.

 

8. Отношения. Понятия. Бинарные отношения. (!)

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Бинарным отношением – называют отношение между двумя множествами (определённое соответствие элементов одного из них элементам второго).

или .

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы, задания множеств, например, список пар, для которых данное отношение выполняется. Отношение на конечных множествах обычно задаются списком или матрицей. Матрица, задающая бинарные отношения на множестве M={a1, ….,am} – это квадратная матрица с порядком m, в которой элемент cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца определяется следующим образом:

 

i j

ì 1, если a_i R a_j;

c_ij = í

î 0 – в противном случае

Свойства отношений: Симметричность, Транзитивность. Примеры. Матрицы.

Симметричность.

Отношение ”быть симметричным: если первая точка симметрична второй, то и вторая симметрична первой.

Примеры:

Если число a равно числу b, то число b равно числу a.

Если высота горы А равна высоте горы В, то и высота горы В равна высоте горы А.

Если a+c=b, то и c+b=a.

 

a =b -> b=a

 

Транзитивность.

Отношение R называется транзитивным, если для любых а, в, с из аRв и вRс следует аRс. Отношения “равенство”, £, “жить в одном городе” транзитивны; отношение “быть сыном” не транзитивно.

Примеры:

Если число b меньше числа c, а число c меньше числа a, то b меньше a.

Если по одной дороге можно дойти от дома до университета, и от университета до магазина, то по той же дороге можно дойти из дома до магазина.

Если Аня и Лена одного и того же возраста, а Лена одного возраста с Юлей, то Аня и Юля тоже одногодки.

 

Отношение называется транзитивным, если

, т. е. .

Отношение транзитивно.

 

Свойства отношений: Еквивалентность. Рефлексивность. Примеры. Матрицы.

Рефлексивность.

Отношение R называется рефлексивным, если для любого аÎМ имеет место аRа. Главная диагональ его матрицы содержит только единицы.

Примеры:

Я живу в той же квартире, что и я.

В числе 1390 столько же цифр, сколько и в 1390.

Масштаб Лондона такой же, как и масштаб Лондона.

 

a =a -> a=a

 

Эквивалентность.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Три равных числа (a=b=c) (Каждое число равно самому себе – рефлексивность; если одно из чисел равно другому, то и другие равные ему числа будут равны этому числу – симметричность; если 1е число равно 2 числу, а 2е число равно 3му, то 1е число тоже равно 3му – транзитивность.)

Три горы одной высоты (Каждый гора одной и той же высоты сама с собой – рефлексивность; если 1я гора одной высоты со 2й горой, то остальные горы, которые одной высоты с 1й будут одной высоты и со 2й – симметричность; если 1я гора одной высоты со 2й, а вторая одной и той же высоты с 3й, то 1я тоже одной высоты с 3й – транзитивность.)

Три подруги-одногодки; (аналогично).

На матрице, вроде (!!!!), одни единицы!!!

Анти-свойства и не-свойства. Примеры. Матрицы. Различия.

Отношение R называется антирефлексивным, если ни для одного из аÎМ не выполняется аRа. Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества , говорят, что отношение нерефлексивно.