Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

2.3.1. Однородное дифференциальное уравнение вида:

(2.3.1)

Дифференциальное уравнение (2.3.1) называется однородным, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения.

Функция f(x,y) называется однородной функцией нулевого измерения, если выполняется тождество:

f(λx,λy)= f(x,y),

где λ – константа.

Для решения однородного дифференциального уравнения применяют подстановку:

(2.3.2)

где u – функция от х. Подставив соотношения (2.3.2) в исходное уравнение (2.3.1), получим уравнение с разделяющимися переменными:

(2.3.3)

Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение.

Пример 4. Найти общее решение уравнения:

(2.3.4)

Решение. Уравнение (2.3.4) является однородным, так как функция является однородной функцией нулевого измерения:

Представим исходное уравнение (2.3.4) в виде:

Сделав подстановку (2.3.2), получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные и интегрируем:

Сделав обратную замену, получим общее решение:

или

 

2.3.2. Однородное дифференциальное уравнение вида:

(2.3.5)

Дифференциальное уравнение (2.3.5) называется однородным, если функции P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного измерения.

Функция f(x,y) называется однородной функцией n -го измерения, если выполняется тождество:

f(λx,λy)= λⁿf(x,y),

где λ – константа.

Для решения однородного дифференциального уравнения (2.3.5) применяют подстановку:

(2.3.6)

Подставив соотношения (2.3.6) в исходное уравнение (2.3.5), получим уравнение с разделяющимися переменными:

(2.3.7)

Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение.

Пример 5. Найти общее решение уравнения

(2.3.8)

Решение. Уравнение (2.3.8) является однородным, так как функции и являются однородными функциями второго измерения:

;

Сделаем подстановку (2.3.6), получим уравнение с разделяющимися переменными:

Сократим уравнение на х ² и преобразуем:

Разделяем переменные и интегрируем:

Подставим y/x вместо u и преобразуем общее решение:

или .

 

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(2.4.1)

где функция Q(x) называется правой частью линейного уравнения. Искомая функция у и ее производная входят в уравнение в виде линейной комбинации.

Если правая часть Q(x)= 0, то уравнение (2.4.1) называется линейным однородным или линейным уравнением без правой части:

(2.4.2)

Уравнение (2.4.2) решается путем разделения переменных.

Если правая часть Q(x)≠ 0, то уравнение (2.4.1) называется линейным неоднородным или линейным уравнением с правой частью. Для решения уравнения этого типа существует несколько способов: метод Бернулли, метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) и др.

Метод Бернулли

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения применяют подстановку:

(2.4.3)

где u и v – функции от х.

Подставим соотношения (2.4.3) в исходное уравнение (2.4.1):

Вынесем u за скобку:

(2.4.4)

Выражение в скобке приравняем к нулю:

(2.4.5)

Соотношение (2.4.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением, которое решается путем разделения переменных:

(принимаем С =0). (2.4.6)

Подставим (2.4.6) в (2.4.4):

(2.4.7)

Соотношение (2.4.7) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим функцию u:

В итоге общее решение имеет вид:

Пример 6. Найти общее решение уравнения:

Решение. Сделав подстановку (2.4.3), получим:

(2.4.8)

Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные и интегрируем:

Получаем: или Функцию v=х подставляем в соотношение (2.4.8):

Сокращаем на х, разделяем переменные и интегрируем:

Находим общее решение у:

Пример 7. Найти общее решение уравнения:

Решение. Сделав подстановку (2.4.3), получим:

(2.4.9)

Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные и интегрируем:

Получаем:

или

Функцию подставляем в соотношение (2.4.9):

Сокращаем на , разделяем переменные и интегрируем:

Находим общее решение у:

Пример 8. Найти общее решение уравнения:

Решение. Сделав подстановку (2.4.3), получим:

(2.4.10)

Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные и интегрируем:

Получаем: или

Функцию v=х подставляем в соотношение (2.4.10):

Сокращаем на х, разделяем переменные и интегрируем:

Находим общее решение у: