Метод приведения к линейному виду 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Метод приведения к линейному виду



Уравнение Бернулли (2.5.1) можно преобразовать к линейному виду (2.4.1). Для этого нужно сначала разделить обе части уравнения (2.5.1) на

(2.5.6)

Сделаем подстановку:

(2.5.7)

где z – некоторая функция от х. Найдем ее производную:

и выразим

(2.5.8)

Подставив (2.5.7) и (2.5.8) в соотношение (2.5.6), получим линейное неоднородное уравнение:

или

Полученное уравнение затем можно решить методом Бернулли или Лагранжа.

Пример 11. Привести к линейному виду уравнение Бернулли и найти его общее решение:

Решение. Разделим обе части уравнения на

(2.5.9)

Сделаем подстановку:

(2.5.10)

найдем производную:

(2.5.11)

Подставив (2.5.10) и (2.5.11) в соотношение (2.5.9), получим линейное неоднородное уравнение:

Решим уравнение методом Бернулли. Сделаем подстановку:

(2.5.12)

Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные и интегрируем:

Получаем: или Функцию v=х подставляем в соотношение (2.5.12):

Разделяем переменные и интегрируем:

Находим общее решение z:

Сделав обратную подстановку, находим искомое общее решение:

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

2. Дайте определения общего и частного решения дифференциального уравнения первого порядка.

3. Как называется задача нахождения частного решения?

4. Как можно найти частное решение из общего?

5. Перечислите типы дифференциальных уравнений первого порядка.

6. Каким методом решаются дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными?

7. Каким методом решается однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

8. Каким методом решается линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

9. Какими методами решается линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка?

10. Какими методами решается уравнение Бернулли?

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов,т.1.– М: Наука. –2005, 526с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2. – М: Наука. –2005, 575с.

3. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С. М. Ф-м.лит. – 2003, ч.2, 432 с. (http://www.rusfolder.com)

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах., т.2, М: Высшая школа – 2003, 415с. (http://www.diary.ru).

5. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.А. Дифференциальные уравнения. – М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2000. - 348 с.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение…………………………..………………………………………………3

1. Основные понятия………………………………………..…….........................3

2. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка …..……4

2.1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными………4

2.2. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными…….5

2.3. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка……….…….7

2.4. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка……………….11

2.5. Уравнение Бернулли ……………………………………………………….. 18

Контрольные вопросы………………………………………….......................... 24

Литература……….………………………………………………………………. 23

 

Юлия Борисовна Егорова

Игорь Михайлович Мамонов

Татьяна Анатольевна Никулина

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 676; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.232.66.188 (0.007 с.)