Степени свободы – перемещения узлов 2 и 3. Для них составляем уравнения равновесия и движения

Геометрические уравнения легко подставляются в физические и далее в динамические (и статические[1]): получаются статические в перемещениях, содержащие всю информацию. Все взаимосвязанные, по отдельности не решаются.

Статические уравнения Узел 1: SX = - 0.5dy×dz×s x0-1 + 0.5dx× dz×txy0-1-2-3 = 0, SY = 0.5dx× dz×s y1-3 - 0.5dy× dz×txy0-1-2-3 = 0;     Узел 3: SX = - 0.5dy× dz×s x2-3 - 0.5dx× dz×txy0-1-2-3 = 0, SY = - 0.5dx× dz×s y1-3 - 0.5dy× dz×txy0-1-2-3 - - 0.5dx× dz×q = 0 (4)

q = 40тс/м= 2МПа = -sy2-3

txy0-1-2-3

q

sy1-3

txy0-1-2-3

sy1-3

sx0-1

0.5dx

0.5 dy

sx2-3

Рис. 21.

Ж.Лагранж минимизировал количество уравнений равновесия или движения: для моделирования движения или равновесия нужно сосредоточиться на тех уравнениях равновесия или движения, которые относятся к объему, содержащему незакрепленную (и поэтому заранее неизвестную) степень свободы, и к направлению сил вдоль этой незакрепленной степени свободы.

В нашем примере узлы 0 и 2 закреплены в обоих направлениях x и y, а узлы 1 и 3 никак не закреплены (итого 4 степени свободы, 4 разных, независимых уравнения движения с 4 неизвестными перемещениями ux ₁, uy ₁, ux ₃, uy ₃). Перемещения в узлах 0 и 2 мы заранее знаем, они в нашей задаче все равны нулю, а силы, действующие на отсеченные части вокруг них, неизвестны. Эти силы (реакции опор) мы можем определить после составления и решения системы уравнений из уравнений равновесия или движения, составленных для отсеченных частей конструкции вокруг этих узлов.

4. Решение задачи о равновесии (статика)

ПЛАН

4.1. Подставить, сформировать 4 уравнения с неизвестными перемещениями (в перемещениях).

Для этого выражения деформаций через перемещения (1) и (2) с. 12, подставляют в физические соотношения (3), с. 15, и получают выражения неизвестных напряжений через неизвестные перемещения.

Затем эти напряжения, выраженные через перемещения, подставляют во все четыре уравнения равновесия (4). Получается 4 уравнения с 4 неизвестными перемещениями узлов 1 и 3.

4.1.1. Этот пункт 4.1 можно упростить – автоматизировать.

Зачем нам подставлять одни громоздкие формулы в другие, если короткая и ясная программа на Бэйсике подсчитает по формулам числовые значения всех 16 коэффициентов и 4 правых частей уравнений равновесия (4), решит полученную систему уравнений и разместит в таблице Excel результаты (значения перемещений u и v в узлах 1 и 3). А затем вычислит деформации (1), (2) и напряжения (3).

Далее эти результаты (коэффициенты и правые части уравнений равновесия – движения) можно использовать для создания простой программы расчета движения

 

4.2. Решить систему уравнений – получить неизвестные (до сих пор) перемещения.

4.3. Найти по ним деформации и напряжения.

4.4. Наглядно изобразить результаты.

4.5. Сделать из этого задачу динамики, просчитать процесс движения всех четырех свободных перемещений, построить графики движения для всех 4 степеней свободы.

 

Начало

‘Определим исходные данные Const L = 12#, H = 8#, q = 200 * 10 * 1000, dx = L, dy = H, dz = 0.2 'Pa Const E = 35000000000#, mu = 0.17 ' Па Dim u(4) As Double, v(4) As Double Dim ex01, ex23, ey02, ey13, gxy, sx01, sx23, sy02, sy13, txy Dim Fx1, Fy1, Fx3, Fy3, A(4, 4), b(4)

4.1.1. Программы на VBA для статики и динамики рассматриваемого примера.

 

 

5. Решение задачи о движении (динамика)

 

 

 

Иллюстрация 1 – 3 для двух КЭ

 

Геометрические уравнения

18 м

12м

Здесь увидим (грубо) изгиб

th = 0,2 м (thickness – толщина)

Плоское изображение для составления геометрических уравнений 2D (деформирование в плоскости). Это задача о плоском напряженном состоянии, напряжения и деформации из плоскости x,y (т.е. в поперечных плоскостях xz и yz) здесь обычно не вычисляют (они малы и неинтересны)

Балка – стенка

18 м

40т/м

12м

Жесткая заделка

Железобетон: E = 3.5e10 Па, m = 0.17

th = 0,2 м (thickness – толщина)

0,2 м

 

 

 

Физические уравнения

 

 

 

6.3. Статические уравнения

12м

Здесь увидим (грубо) изгиб

th = 0,2 м (thickness – толщина)

Плоское изображение для составления статических уравнений 2D (все силы в плоскости). Это задача о плоском напряженном состоянии, напряжения и деформации из плоскости x,y здесь обычно не вычисляют (они малы и неинтересны)