Изображение с разных точек зрения,

Балка – стенка 2D и 3D образы к объемам понятий дифференцирования и интегрирования

0,2 м

18 м

12м

Жесткая заделка

0,2 м

18 м

12м

q = 40тс/м= -0.2sy

x

y

z

sz = 0

sx = 0

sy = 0

sy = - 200тс/м^2

Рис. 16. Лаконичное плоское (а) и подробное пространственное (б) изображения условий задачи о моделировании НДС простейшей конструкции.

Железобетон: r = 2400 кг/м^3 E = 3.5e10 Па, m = 0.17

x

y

б

б

а

чтобы лучше себе представить и точнее построить мысленную модель

 

1. Формирование геометрических представлений и уравнений

L = dx = 18 м 18 м

H=dy= 12 м

Геометрическая сторона задачи: перемещения и деформации, геометрические уравнения. L = dx = 18 м, H = dy = 12 м

Обозначения. Закрепленные узлы: u = 0, v = 0 Подвижные узлы, их перемещения u и v нужно найти Линейные (ex, ey) и угловые (gxy) деформации с повышенной точностью

ex0-1

ex2-3

ey0-2

ey1-3

gxy0-1-3-2

u1,v1

u3,v3

3D изображение: дополнительный образ к объемам понятий дифференцирования в механикесплошных сред

Дополнительная информация: известные (заданные) напряжения на поверхности объекта моделирования. Она поможет определить недостающие e и s в точках 0-1, 2-3, 0-2, 1-3.

sy = 0

sz = 0

sz = 0

sz = 0

sz = 0

а

б

x

y

Рис. 17. Приближенное конечномерное моделирование геометрических зависимостей, связывающих поле перемещений (u,v) и поле деформаций (ex, ey, gxy). Выбор точек наилучшей точности для этих уравнений

ex0-1 = (u1 – u0)/dx ex2-3 = (u3 – u2)/dx ey0-2 = (v2 – v0)/dy = 0,ey1-3 = (v3 – v1)/dy (1) gxy0-1-3-2 = 0.5(v1 – v0 + v3 – v2)/dx + 0.5(u2 – u0 + u3 – u1)/dy

sx = 0

sy = -200тc/м2

Первое, самое грубое, приближение: 1 КЭ. Почти не будет виден изгиб.

1. Геометрические уравнения. Дополнительные образы и пояснения

к определению деформации сдвига g_xy с повышенной точностью в центре ячейки сетки (в центре КЭ) за счет линейной интерполяции углов поворота сторон КЭ.

L = dx = 18 м 18 м

H=dy= 12 м

gxy0-1-3-2

x

y

u1 =(u 1, v 1)

u3 =(u 3, v 3)

u 3

v 3

gx2-3

gx0-1

gy1-3

gy0-2=0

gx0-1= (v1-v0)/dx; gx2-3= (v3-v2)/dx gy0-2= (u2-u0)/dy = 0; gy1-3= (u3-u1)/dy gx0-1-3-2 = (gx0-1+ gx2-3)/2 gy0-1-3-2 = (gy0-2+ gy1-3)/2 (2) gxy0-1-3-2= gx0-1-3-2 + gy0-1-3-2 = = (gx0-1+ gx2-3 + gy0-2+ gy1-3)/2 Здесь gx, – углы поворота границ КЭ, направленных по оси x, gy – то же для оси y, gxy – угловая деформация (синоним – деформация сдвига)

gx0-1-3-2 <0

gy0-1-3-2 >0

ex2-3

ex0-1

ey1-3=(u 3- u 1)/dy

v 1

u 1

Рис. 18. Подробности определения величины деформации сдвига gxy0-1-3-2 в центре ячейки сетки по перемещениям узлов сетки (углов КЭ). Все видно на чертеже.

2. Свойства материала и физические уравнения

Для простейшего изотропного материала закон Гука:

ex =(sx - m(sy + sz))/E, ey = (sy - m(sx + sz))/E, ez =E(sz - m(sx + sy)) /E; gxy = txy /G, gyz = tyz /G, gzx = tzx /G.

В точках на границе балки-стенки мы определили деформации e_x0-1 , e_x2-3 , e_y1-3 , и в них известны напряжения s_y0-1, s_z0-1, s_y2-3, s_z2-3, s_x1-3, s_z1-3. Этой информации достаточно, чтобы из физических уравнений определить (выразить через неизвестные деформации) нужные нам напряжения

s_x0-1 , s_x2-3 , s_y1-3:

e_x0-1 = (u₁ – u₀)/dx, s_y0-1 = 0, s_z0-1 = 0 Þ s_x0-1 = E× e_x0-1

e_x2-3 = (u₃ – u₂)/dx, s_y2-3 = - 200 тс/м² = - 2e6 Па, s_z2-3 = 0 Þ s_x2-3 = E× e_x2-3 + m× s_y2-3

e_y1-3 = (v₃ – v₁)/dy, s_x1-3 = 0, s_z1-3 = 0 Þ s_y1-3 = E× e_y1-3 (3)

g_xy0-1-3-2 = 0.5(v₁ – v₀ + v₃ – v₂)/dx + 0.5(u₂ – u₀ + u₃ – u₁)/dy, Þ t _xy0-1-3-2 = G × g_xy0-1-3-2

Эти напряжения нам нужны для составления уравнений равновесия или движения объемов конструкции, расположенных около подвижных (незакрепленных) узлов № 1 и № 3.

Физические свойства железобетона: модуль упругости E = 3.5e10 Па,

коэффициент Пуассона m = 0.17,

модуль сдвига G = E/(2*(1+m))

 

3. Формирование статических представлений и уравнений

Рис. 19. 2D: Плоское изображение всех силовых воздействий на отсеченные части, определенные в разделе 2. Внешние силы q и внутренние силы – напряжения s = (s, t) на поверхностях, разделяющих объемы 1, 2, 3, 4. Вспомните закон природы: действие равно противодействию, направления – противоположные.

Силы 2D

sx2-3

q

q

sx2-3

txy0-1-2-3

x

y

sy1-3

sy1-3

Рис. 20. 3D. Здесь выборочные изображения напряжений и нагрузок, для расширения набора образов, составляющих объемы понятий. Полный набор 3D напряжений – это громоздко, его лучше показывать в сокращенной (плоской) форме (рис. 19)

Силы 3D

9 м

x

y

z

q

q

sy1-3

sy0-2

sx0-1

txy0-1-2-3

Разрезаем плиту на части по линиям, проведенным через точки, в которых с повышенной точностью определены (т.е. выражены через основные неизвестные – перемещения узлов) напряжения. Для составления уравнений равновесия или движения каждой получившейся при этом отсеченной части, расположенной вокруг незакрепленного узла, подсчитываем суммарную силу, действующую на эту часть, в каждом координатном направлении, в котором она может двигаться.

 

3. Статические представления и уравнения (продолжение)