Геометрические понятия – перемещения и деформации

(Образы к геометрическим понятиям моделей сплошных сред)

x

y

u

v

u

б

а

в

г

д

Рис. 3. Изображение полей перемещений и деформаций

Образы и уравнения к объемам понятий «поле перемещений» и «деформация» а – вектор перемещения u и его проекции u, v на оси x, y; б – поле перемещений при деформировании тела; в, г – смещение и поворот тела как жесткого целого; д – график смещений точек диаметра

Дифференцирование Меры изменения формы на малых участках: Линеаризация поля перемещений, т.е. функций u(x, y), v(x,y) x* = x+u(x, y), y*=y+v(x,y) (любое изменение формы плюс смещение как абсолютно жесткого целого) u(x, y) = a 1 +b 1 x + c 1 y, (линейное изменение формы v(x, y) = a 2 +b 2 x + c 2 y плюс смещение как абсолютно жесткого целого)

 

 

q = (b ₂ + c ₁)/2 –

усредненный угол поворота

окрестности точки (x*, y*)

Рис. 5. Линейные e x, e y (a) и угловая g (б) меры изменения формы на малом участке тела в линейном приближении. На рис. в, г видно, что эти определения зависят от направления координатных осей

e y

e x

e x

e y

a

b

g=a+b

a

б

в

г

x

y

x

y

x

y

x'

y'

x

y

y'

x'

Рис. 4. Составляющие смещения участка тела как абсолютно жесткого целого в линейном приближении

a 1

a 2

–c 1

b 2

… и относительность деления мер изменения формы на линейные и угловые

tzx

tyx

tyz

tyz

sz

tzx

sy

sy

tyx

sz

sx

txy

txz

sn

tn1

tn2

Здесь показаны положительные направления внутренних сил

sn

tn1

tn2

Условия равновесия между напряжениями на координатных и наклонных площадках

Рис. 8. Распределенные по поверхности силы – напряжения на координатных и наклонных площадках. Сколько всего напряжений в одной точке?

Точка A

x

y

z

Рис. 7. Поверхностные силы (а, б, в) и объемные (г) и их равнодействующие

б

a

в

г

Статические понятия – силы и их действие на тела

Рис. 6. Поверхностные силы, их равнодействующие силы и точки приложения равнодействующих

Физические уравнения: связь между напряжениями и деформациями для изотропного материала

Рис. 9. Линейные деформации e x, e y (относительные удлинения, a) и угловая деформация g (б). Это – меры изменения формы на малом участке тела в линейном приближении.

e x

e y<0

a

b

g=a+b

a

б

x

y

x

y

sx

sx

txy

ex =E(sx - m(sy + sz)), ey =E(sy - m(sx + sz)), ez =E(sz - m(sx + sy)); gxy = txy /G, gyz = tyz /G, gzx = tzx /G.

F – Суммарное действие внешних и внутренних сил на эту отсеченную часть сплошной среды. Это – РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СИЛА, КОТОРАЯ ВЫЗЫВАЕТ ДВИЖЕНИЕвыделенной отсеченной части. Если F =0 – наступило РАВНОВЕСИЕ СИЛ: в данный момент t происходит покой или равномерное прямолинейное движение

Замечание к рис. в. Изображение на плоскости трехмерного вектора силы одной стрелкой не наглядно (часто нельзя понять, куда вектор направлен), а для распределенных сил еще и слишком сложно. Лучше изображать вектор тремя проекциями на оси координат (как на рис. в). Но эта работа тоже сложная, а изображение громоздкое и не наглядное. Оно необходимо для формирования (в своем сознании и подсознании) общего представления. А для подсчета компонентов вектора суммарной силы и составления уравнений равновесия и движения нужно дополнительно изображать по отдельности проекции всех сил на каждое координатное направление (см. след. стр.).

б) Выбор характерной малой части для подсчета суммарной силы

г)Pавновесие или движение частей усложненной формы, расположенных вблизи поверхности – это отдельная работа, которую мы здесь не изучаем, откладываем на будущее

в) Подсчет суммарной силы - приближенный, с точностью до бесконечно малых нужного порядка. Для этого берут упрощенные (линейные или билинейные) распределения интенсивностей сил (напряжений) по поверхности выбранной малой части тела

F

F

а

б

в

а) Разделение исследуемого объекта (выделенного из сплошной среды) на малые части простой формы

sy

x

y

z

tyx

tyz

sx

txy

txz

sz

tzx

tzy

tzy

tzx

sz

tyz

tyx

sy

sx

txy

txz

Рис. 10

Рис. 11

РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ

РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ – ЭТО ОДНО И ТО ЖЕ уравнение.