Как зависит структура фундаментальной системы решений от вида собственных чисел системы. Собственные вектора системы.

Однородной линейной системой дифференциальных уравненийназывается система уравнений вида:

(6)

y Î Rⁿ, x Î [a,b], где A(x) - квадратная матрица размера nхn, элементы которой непрерывны на интервале [a,b] функции. Любое решение системы уравнений (6) можно продолжить на весь интервал [a,b]. Множество всех решений a всех решений системы (6), определенных на [a,b], является линейным пространством. Линейное пространство a всех решений однородной линейной системы изоморфно фазовому пространству Rⁿ этой системы.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системыуравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, т.к. в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы система (6) имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы характеристическое уравнение системы (6) имело вид det(A- E)=0 или

(8)

Корни этого уравнения называются корнями характеристического полинома или собственными числами.

Если для k - кратного собственного значения матрицы A имеется столько линейно независимых собственных векторов а₁, а₂, …, а_к, какова его кратность, то ему соответствует k линейно независимых решений исходной системы, имеющих вид:

(18)

Если для собственного значения кратности k имеется только m (m<k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на , т.е. в виде:

(19)

Чтобы найти векторы а₀, а_{1, …,} а_k-m, надо подставить выражение (19) в систему (6). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов а₀, а_{1, …,} а_k-m.

Если среди собственных чисел матрицы А имеются комплексные числа, то указанным выше методом строится соответствующее такому собственному числу решение системы (6) через комплексные функции. Чтобы выразить решение через действительные функции (в случае действительной матрицы), надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего собственному числу =a±b *i (b¹0), являются линейно независимыми решениями.

Таким образом, в случае, когда собственные числа являются комплексными, решение представимо в виде:

, где - комплексные числа.

или

Каждой паре корней соответствует 2 линейно-независимых решения: