Метод Эйлера интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами.

Однородной линейной системой дифференциальных уравненийназывается система уравнений вида:

(6)

y Î Rⁿ, x Î [a,b], где A(x) - квадратная матрица размера nхn, элементы которой непрерывны на интервале [a,b] функции. Любое решение системы уравнений (6) можно продолжить на весь интервал [a,b]. Множество всех решений a всех решений системы (6), определенных на [a,b], является линейным пространством. Линейное пространство a всех решений однородной линейной системы изоморфно фазовому пространству Rⁿ этой системы.

Метод Эйлера заключается в следующем. Решение системы (6) находится в виде:

, где а = [ a₁, a₂, …, a_n ] (15)

Функция (15) является решением системы (6), если – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу . Если собственные значения ₁, ₂, …, _n матрицы А попарно различны и a₁, a₂, …, a_n соответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (6) определяется формулой:

(16)

где С₁, С₂, …, С_n – произвольные числа.

Для случая кратных корней решение системы принимает вид

(17)

где P_i(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к n-k выражаются через них. Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (17) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

Если для k - кратного собственного значения матрицы A имеется столько линейно независимых собственных векторов а₁, а₂, …, а_к, какова его кратность, то ему соответствует k линейно независимых решений исходной системы, имеющих вид:

(18)

Если для собственного значения кратности k имеется только m (m<k) линейно независимых собственных векторов, то решения, соответствующие , можно искать в виде произведения векторного многочлена степени k - m на , т.е. в виде:

(19)

Чтобы найти векторы а₀, а_{1, …,} а_k-m, надо подставить выражение (19) в систему (6). Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой частях системы, получим уравнение для нахождения векторов а₀, а_{1, …,} а_k-m.

Если среди собственных чисел матрицы А имеются комплексные числа, то указанным выше методом строится соответствующее такому собственному числу решение системы (6) через комплексные функции. Чтобы выразить решение через действительные функции (в случае действительной матрицы), надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего собственному числу =a±b *i (b¹0), являются линейно независимыми решениями.

Таким образом, в случае, когда собственные числа являются комплексными, решение представимо в виде:

, где - комплексные числа.

или

Каждой паре корней соответствует 2 линейно-независимых решения:

Умножим транспонированную фундаментальную матрицу решений на вектор свободных коэффициентов [C_1, C_2, C_3, C₄] и получим вектор общего решения исходной системы

При подстановке решения в исходную систему получается верное равенство, из этого следует, что решение найдено верно