Резервирование с постоянно включенном резервом

Структурная схема системы с постоянно включенным резервом изображена на рис. 10. Элемент с номером 0 является основным, а элементы с номерами 1, 2, …, m – резервными. Общее число элементов в системе n = m + 1, где m – кратность резервирования – отношение числа резервных элементов к числу основных.

Рис. 10. Система с постоянно включенным резервом.

В данном случае отказ системы наступает при отказе элемента с максимальным временем работы, т.е.

.

По теореме умножения вероятностей имеем:

(12.1)

Отсюда следует, что вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказов элементов:

или (12.2)

На практике достаточно часто имеют место случаи, когда основная система и все резервные одинаковые и имеют одинаковую вероятность безотказной работы P(t). Тогда

(12.3)

Так как f (t) = Q ^’(t), то

(12.4)

Определим интенсивность отказов λ_c(t) резервированной системы с постоянно включенным резервом. По определению интенсивности отказов имеем:

. (12.5)

 

Резервирование с дробной кратностью

Существуют технические системы, часто называемые мажоритарными, с дробной кратностью резервирования , где m – число резервных элементов, n – общее число элементов.

Мажоритарная система будет работоспособной в течение времени t (событие А) при отказе не более чем m элементов. Пусть Ai – событие, состоящее в отказе любых i (0 ≤ i ≤ m) элементов за время t. Тогда

Событие Ai произойдет, если откажут любые i элементов, а остальные n-1 элементов останутся работоспособными. Вероятность этого события выражается формулой Бернулли (прил. 7):

.

Поскольку события Ai попарно несовместимы, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.:

Таким образом, вероятность безотказной работы мажоритарной системы при условии, что все элементы имеют одинаковую надежность, равна:

(13.1)

Найдем интенсивность отказа λс(t) и плотность распределения fc(t) мажоритарной системы. Так как частота отказов есть производная от вероятности безотказной работы, , то используя формулу (13.1) получим:

.

После преобразования этого выражения получим следующую формулу:

(13.2)

Тогда

(13.3)

 

Резервирование замещением

Структурная схема системы с резервированием замещением представлена на рис. 11. Отказ системы в данном случае наступает после отказа основного элемента и всех резервированных.

Рис. 11. Система с резервом замещением.

Общее время до отказа системы равно сумме времен до отказа элементов . Согласно теории вероятностей, плотность суммы независимых случайных величин равна свертке плотностей слагаемых:

(14.1)

Определим вероятность безотказной работы системы в течение времени t. Примем для начала, что m = 1. Система проработает безотказно в течении времени t при наступлении одного из двух несовместимых условий:

- Элемент с номером 0 проработает безотказно в течении времени t;

- Элемент с номером 0 откажет в некоторый момент времени x < t, а элемент с номером 1 проработает безотказно в течение оставшегося времени (t - x).

Вероятность события A равна P0(t). Вероятность события B, получена по формуле полной вероятности, равна .

Согласно теореме сложения вероятностей, получим:

Эта формула обобщается на систему, состоящую из произвольного числа элементов:

(14.2)

На практике часто резервирование замещением осуществляется однотипными элементами, когда основной элемент и все резервные равнонадежны. В этом случае формула (14.2) принимает вид:

(14.3)

где – i-кратная свертка плотностей. Преобразуем полученное выражение, исходя из условия, что интенсивность отказов является величиной постоянной, сумма случайных величин из (m + 1)-го слагаемого, каждое из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром λ, подчинена распределению Эрланга с параметрами α = m + 1 и β = . Получаем:

(14.4)

Среднее время безотказной работы можно получить из соотношения

.

После интегрирования получим:

(14.5)

где T₀ – среднее время безотказной работы основного элемента.

Скользящее резервирование

Скользящим называется резервирование мажоритарной системы m/n с резервом замещением (ненагруженным). Схема такого резервирования представлена на рис. 12.

Рис. 12. Система со скользящим резервированием

Сначала работают (n - m) основных элементов системы, а остальные m элементов не работают (находятся в очереди). При отказе любого основного элемента он заменяется новым из числа резервных, который теперь выполняет функции основного элемента. При этом количество резервных элементов уменьшится на единицу. При отказе следующего основного элемента он опять заменяется новым из числа резервных и т.д. Отказ всех системы наступает, когда закончатся все резервные элементы системы и откажет один из основных.

Определим вероятность безотказной работы системы со скользящим резервированием при условии, что все элементы системы имеют одинаковую надежность.

Система будет работоспособной в течение времени t при отказе не более чем m элементов. Событие А_к, состоящее в отказе любых k (0 ≤ k ≤ m) элементов за время t, может произойти в том случае, когда произойдет хотя бы одно из несовместимых событий , которое состоит в том, что основной элемент системы, стоящий на i-ом месте, будет заменен k_i резервным элементом, i=1, 2,…,n-m.

Вероятностные характеристики системы со скользящим резервированием не являются темой данного пособия, однако стоит заметить, что скользящее резервирование высокоэффективно. Система, состоящая из n элементов с одним резервным, имеет такую вероятность безотказной работы, как и дублированная система, число элементов которой равно 2(n-1).