Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции. Механический и геометрический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Таблица производных. Производная сложной функции. Производная неявной функции и функции, заданной в параметрическом виде. Производные высших порядков.

Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков.

Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Возрастание и убывание функции. Экстремумы. Выпуклость графика функций. Точки перегиба. Асимптоты. Схема исследования функции и построение графика.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функции двух и трех переменных. Частные производные, дифференциал. Матрица Якоби, якобиан. Производная по направлению. Градиент. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух переменных.

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Интегрирование основных классов элементарных функций.

Определенный интеграл

Определенный интеграл и его свойства. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Метод интегрирования подстановкой. Интегрирование по частям. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги плоской кривой, объема тела, площади поверхности вращения и др. физические приложения определенного интеграла: вычисление работы, давления и др.

Несобственные интегралы I и II рода, признаки их сходимости.

Ряды

Сходимость и сумма числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Геометрический, гармонический и обобщенный гармонический ряды, условия их сходимости или расходимости.

Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах, линейные, уравнение Бернулли.

Дифференциальные уравнения высших порядков: допускающие понижение порядка, линейные уравнения второго и высших порядков – однородные и неоднородные.

Системы дифференциальных уравнений. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Теория вероятностей математическая статистика

Элементарная теория вероятностей

Случайные события, виды событий. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.

Условная вероятность. Основные теоремы теории вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли. Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа

Случайные величины

Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график. Биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение.

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины. Равномерное, нормальное, экспоненциальное распределения.

Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины, их свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.

Выборки и их характеристики

Генеральная и выборочная совокупности, повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Статистическая функция распределения выборки. Статистический ряд. Гистограмма и полигон частот. Числовые характеристики статистического распределения: выборочное среднее, выборочная дисперсия, мода и медиана, начальный и центральный эмпирический момент.