Методы оценки результатов обогащения

Достигнуть полного разделения исходного угля или другого по­лезного ископаемого на полезный и неполезный компоненты, как известно, невозможно. Всякое обогащение любого ископаемого сопряжено с потерями части полезного компонента в отходах и за­сорением концентратов породой.

Поэтому оценка полученных результатов обогащения, а также целесообразные пределы обогащения должны определяться, с од­ной стороны, показателем технической эффективности, характери­зующей совершенство процесса разделения, и, с другой, технико-экономическим показателем, характеризующим экономическую це­лесообразность обогащения того или иного полезного ископаемого. Эти два показателя определяют эффект, получаемый в результате обогащения угля.

Формулы и методы оценки технической эффективности

Исследования в области технической эффективности обогати­тельных процессов начались с появлением кривых обогатимости Анри, опубликованных впервые в 1905 г. За время, прошедшее с тех пор, многими авторами были предложены разные методы и формулы оценки как результатов работы фабрик, так и результа­тов исследования полезных ископаемых на обогатимость. Наиболее известные из них приведены ниже.

Формула Ханкока — Луйкена

В 1918 г. Ханкок, а затем несколько позже Луйкен [8, 25, 63,
64] предложили для определения абсолютного коэффициента обо­
гащения руд, а также максимума технического эффекта следующую
формулу:

, (22)

где α_мин— количество чистого рудного минерала в сырой (исход­ной) руде, равное

;

β_t—теоретическое содержание полезного элемента в рудном

минерале, %;

ε— извлечение полезного элемента в концентрат, выража­ется известной формулой

;

где β — содержание полезного элемента в концентрате, %;

α — содержание полезного элемента в исходном материале, %. Подставляя значение ε и α_мин в формулу (18), получим

,в долях единицы. (23)

Эта же формула широко популяризировалась Дином и Бирбауэром. Г. О. Чечотт [69] также предлагает пользоваться при подсчете эффективности формулой (18), представленной в следующем виде:

,

так как α_мин = γ_t, т. е. выходу, отвечающему полному отделе­нию пустой породы.

Формула Ханкока — Луйкена (23) Г. Маделем [25, 27, 63, 64] предложена в ином виде:

Е = ε — ε₃ = ε—(100—ε₁) = ε + ε₁—100, %, (24)

где ε₃— извлечение неполезной части в концентрат, %;

ε₁— извлечение неполезной части в хвосты, %.

Если в формулу (20) подставить значения ε и

,%,

то получим ту же формулу Ханкока — Луйкена в выражении (23):

, %,

Формула Маделя в выражении (24) позже предложена П. П. Землянским для определения точности разделения углей в тяжелых средах [21].

Г. В. Ньютон и В. Г. Ньютон формулу (23) применили для опре­деления эффективности сепарации и грохочения материала в сле­дующем виде [35, 64]:

по концентрату (по надрешетному продукту)

, в долях единицы; (24)

по хвостам (по подрешетному продукту)

, в долях единицы, (25)

где θ—содержание неполезного элемента в хвостах (в долях еди­ницы). Значения γ, β и α тоже даны в долях единицы. Если формулу (24) преобразовать, а в формулу (25) подставить значение

то обе эти формулы примут одно и то же выражение, представляю­щее ту же формулу (23).

Эта же формула (23) А. Ф. Таггартом [44] была применена для подсчета эффективности работы классификаторов.

П. В. Лященко [26, 64] степенью обогащения называет отноше­ние разности содержания полезного элемента в концентрате и в исходном сырье β-α

к разности предельно возможного содержа­ния полезной части в концентрате и содержания ее в исходном ма­териале

и выражает это так:

С другой стороны, успешность обогащения характеризуется отно­шением действительного выхода концентрата к идеальному выходу. Фактический выход концентрата равен

где θ_пол — содержание полезной части в отходах.

Следовательно, отношение это будет иметь следующий вид:

Рассматривая коэффициент полезного действия обогащения как произведение λ и μ, Лященко получил формулу эффективности

(26)

Так как выражение

то после преобразования имеем ту же формулу (23). Позже коэф­фициент λ

был предложен Бирбауэром и Курода как самостоятельный показатель для оценки качественной эффективности обогащения угля.

Коэффициенты λ и μ как самостоятельные показатели предла­гались и Гайденрайхом [39].

Формула (23) была предложена и Н. Г. Тюренковым [48].

Для определения технической эффективности обогащения ка­менных углей эту же формулу предложил использовать Ф. А. Барышников [2] в следующем виде:

(27)

 

где ε₃ — извлечение золы в концентрат, %;

γ_опт— содержание горючей массы в исходном угле (теоретиче­ский выход горючей массы), %.

Позже формула (27) использовалась Я. И. Фоминым для под­счета эффективности обогащения угля.

Формула (27) легко приводится к виду (23). Если в формулу (27) подставить значение

то получим ту же формулу (23), а именно:

Для определения эффективности обогащения углей эта формула под наименованием «Формула Комитета по обогащению руд» была предложена немецкой Обогатительной комиссией Общества металлургии и горного дела в следующем виде:

(28)

где а — содержание всплывшей фракции в исходном материале, %;

с — содержание всплывшей фракции в концентрате, %;

b — содержание всплывшей фракции в отходах, %.

Если заменить в этой формуле обозначения с, а, b соответствен­но на β, α, θ_пол, то получим формулу Ханкока — Луйкена:

(23)

Отличие формулы «Комитета» заключается только в том, что подсчет рекомендуется производить не по данным технического, а по данным фракционного анализа углей, т. е. по данным расслое­ния углей в тяжелых жидкостях.

И. М. Верховский в своих работах [6, 7, 8] показал, что, поль­зуясь аналогией между фракциями расслоенного угля в жидкостях больших плотностей и компонентами руды — минералом или двумя минералами и породой, можно производить ряд подсчетов, связан­ных с контролем и проектированием технологического процесса обогащения углей.

Рассматривая уголь по аналогии с рудой как монометалличе­скую руду, где полезным компонентом является всплывшая фрак­ция при соответствующей плотности, и заменяя обозначения при­менительно к углю, получим формулу Ханкока — Луйкена:

При рассмотрении этой формулы в таком виде оказалось, что величина

есть не что иное, как качествен­ный показатель из формулы Дрейкли. Этот же показатель по­пуляризировался и

Рис.20. Графическое опре- Андерсоном[19, 39]. На основании этого

деление эффективности фор­мулу Ханкока — Луйкена И.

выделения продуктов при М. Верховский представил в следую­щем

разделении двухкомпоне- виде:

нтной смеси на два

продкта

 

В 1954 г на втором междуна­родном конгрессе по обогащению углей немецкий исследователь Зоммер предложил графическое истолкование формулы Ханкока- Луйкена [4, 81] (рис. 20).

На координатной оси АВ, разделенной на 100 частей, слева на­право откладывается процентное содержание полезного компонен­та. В точке А полезного компонента содержится 0%, в точке В — 100%. Содержание полезного компонента в исходной смеси соот­ветствует точке О, в концентрате — точке М, а в отходах — точке К. Чем ближе расположена точка К к точке А и точка М к точке В, тем чище продукты разделения. В идеальном случае точки К и М должны совпадать с точками А и В, т. е. если отрезок КМ равен отрезку АВ, эффективность разделения равна 100%. При совпаде­нии точек К и М с точкой О эффективность разделения равна нулю. Таким образом, отношение отрезка КМ к отрезку АВ характе­ризует эффективность разделения

Но так как АВ = 100%, то

е = КМ, %. (29)

По рис. 20 может быть оценена эффективность выделения каж­дого из двух продуктов разделения в отдельности. Так, эффективность выделения продукта К равна отношению отрезка КО к отрезку АО. Эффективность выделения второго продукта определяется от­ношением отрезка ОМ к отрезку ОВ, т. е.

В отличие от показателя эффективности е, показатели е₁ и е₂ зависят от состава разделяемой смеси и называются частными по­казателями.

Величину эффективностей выделения продуктов е₁ и е₂ можно представить графически (рис. 20).

Через точки А и В восстанавливают перпендикуляры и отклады­вают на них шкалу от 0 до 100%. Точку О соединяют с конечными точками перпендикуляров R и S. Затем из точек К и М восстанав­ливают перпендикуляры, пересекающие линии OS и OR в точках S' и R'. Величины перпендикуляров S'K и R'M равны величинам эффективностей выделяемых продуктов К и М — е₁ и е₂.

Показатель технической эффективности обогащения представ­ляет собой среднее значение из трех выше приведенных показате­лей разделения е, е₁ и е₂ и выражается формулой

. (30)

Эта формула легко приводится к формуле Ханкока — Луйкена. Если обозначить:

α₀— содержание полезного компонента в исходном угле, %;

α₁— содержание полезного компонента в отходах, %;

α₂— содержание полезного компонента в концентрате, %,

тогда отрезки, обозначенные буквами на рис. 20, соответствуют:

АК = α₁; ОМ = α₂—α₀;

АО = α₀; OS = 100 — α₀;

AM = α₂; КО = α₀— α₁;

АВ = 100%; KS'=е₁;

R'M= е₂

Из подобия треугольников SAO и S'KO, ORB и О R'M находим, что

Техническая эффективность процесса разделения независимо от состава исходного материала определяется, как отношение от­резков

Общий показатель технической эффективности равен

(31)

Если в формулу (28) подставить принятые ранее обозначения: α— содержание золы в исходном угле; β — содержание золы в кон­центрате, получим формулу Ханкока — Луйкена:

(23)

Рис. 21. Диаграмма деления трехкомпонентного про­дукта О на продукты D, Е и F

Определение технической эффективности разделения трехкомпонентной смеси на три продукта производится следующим обра­зом (рис. 21).

На треугольнике ABC сторона АВ представляет собой ось двухкомпонентных смесей, состоящих из А и В, сторона ВС — ось сме­сей из В и С, СА —ось смесей из С и А. Процентное содержание компонентов отсчитывается по оси в направлении, указанном стрел­ками. В вершинах треугольника — 100% содержания соответст­вующего компонента. Таким образом, однокомпонентной смеси от­вечает вершина треугольника, двухкомпонентной — какая-либо точка на стороне треугольника, трехкомпонентной — точка внутри треугольника. Например, точкам О, D, Е и F соответствует сле­дующее содержание компонентов в продукте (рис. 21),

Содержание

компонента А компонента В компонента С

О 30 60 10

D 95 2 3

Е 2 92 6

F 20 15 65

О — соответствует содержанию в исходном угле концентрата, промпродукта и породы, D, Е, F — продукты разделения. Стрелки на диаграмме объясняют нахождение точек в сетке треугольника. Соединяя эти точки, получим треугольник DEF.

Показатель технической эффективности процесса разделения определяется как отношение площади треугольника DEF к пло­щади координатного треугольника ABC:

 

 

(32)

При разделении исходного материала на три продукта стремят­ся получить чистые продукты А, В, С. Чем ближе точка D к А, Е к С, F к В, тем эффективнее разделение.

Для определения эффективности выделения каждого из трех продуктов из точки О проводятся шесть линий к вершинам двух треугольников. Если из продукта О стремятся получить продукты составов А, В и С, а фактически получают продукты составов D, Е, F, то вместо того, чтобы двигаться в направлениях АО, ОВ и ОС до точек А, В и С, двигались к точкам D, Е и F в направлениях DO, ОЕ и OF. В направлении ОА, ОВ и ОС полезное продвижение определяется расстояниями OD', ОЕ' и OF', которые находятся как проекции на соответствующие отрезки, отсекаемые линиями, па­раллельными противолежащей стороне треугольника.

Эффективность выделения продуктов А, В и С раздельно опре­деляется отношением отрезков:

Тогда общая техническая эффективность по Зоммеру будет вы­ражаться формуло

(33)

Этот графический метод оценки процессов разделения широко популяризировался Г. С. Бергером [4] как в отношении его приме­нения при подсчете эффективности классификации и обогащения, так и обезвоживания.

Рассмотренные формулы технической эффективности Ханкока, Луйкена, Дина, Чечотта, Маделя, Г. Н. Ньютона и В. Г. Ньютона, Таггарта, Лященко, Тюренкова, Барышникова, Фомина, Верховского приводятся к одному и тому же уравнению (19), т. е. все они являются одной и той же формулой, но представленной авто­рами в различных интерпретациях [64].

Для более полного раскрытия физического смысла этой форму­лы рассмотрим подробнее положения, которыми пользовались ука­занные авторы при выводе формулы. Ханкок, а затем Луйкен выводили формулу не аналитическим, а графическим путем. Они пред­полагают, что эффективность обогатительного процесса равна отношению площадей, выражающих фактический и теоретический количественный прирост полезного минерала в концентрате, про­исшедший за счет обогащения.

Показатель технической эффективности, полученный по форму­ле Ханкока, Луйкена и других, будет меньше степени извлечения полезного минерала в концентрат и меньше действительной эффективности

происшедшего процесса обогащения. Это объясняется тем, что при постоянном знаменателе числитель в этой формуле изменяется на величину, равную содержанию полезного минерала в концентрате в виде рядового материала, т.е. в числитель входит не все количество полезного минерала, содержащегося в полученном концентрате, а лишь прирост его от обогащения. Но это не значит, что если в числитель этой формулы подставит все количество полезного минерала, заключенного в концентрате, то получится формула более правильно характеризующая эффективность процесса обогащения; при этом условии мы получим лишь степень извлечения полезного элемента в концентрат. Для полноты характеристики процесса обогащения необходим и другой показатель- степень извлечения неполезной части в хвосты.

 

 

Рис.22.Диаграмма деления концентрата и хвостов на фракции, аналогичные исходному материалу, по содержанию полезной и неполезной частей

 

Г. В. Ньютон и В. Г. Ньютон, а также Таггарт исходили из то­го, что концентрат делится на две фракции: аналогичную по содер­жанию полезного минерала исходному материалу, т. е. рядовой (исходный) материал (выражается площадью abсd) (рис. 22), ко­торая как бы не участвовала в процессе обогащения: и фракцию, состоящую из чистого полезного минерала (площадь dcel). Отхо­ды также делятся на фракцию, аналогичную по содержанию не­полезной части исходному материалу, т. е. рядовой материал (пло­щадью mnba), и фракцию, состоящую из зерен неполезной части (площадь konm) [64].

Эффективность по концентрату или хвостам определяется как отношение массы второй фракции концентрата или хвостов (фрак­ции, состоящей из чистого полезного минерала, — для концентра­та; фракции, состоящей из зерен чистой неполезной части, — для хвостов) к массе полезного минерала — для концентрата или к массе неполезного минерала — для хвостов, содержащихся в ис­ходном материале.

Конечные результаты, полученные по этим формулам для кон­центрата и для отходов, совершенно одинаковы. Обе эти формулы приводятся к одному и тому же виду (19).

Применение этой формулы для оценки эффективности обогаще­ния каменных углей, как это предлагает Барышников и другие.

возможно только при полу­чении двух продуктов: кон­центрата и отходов. Она не применима в случае выделе­ния промежуточного продук­та, а также при вычислении технической эффективности в целом по фабрике, ког­да

нужно учитывать, поми­мо концентрата, отходов и промпродукта,

шлам и пыль. Рис.23 Схема деления материала

Определение эффективности, на обогатимую и необогатимую

предложенное Н.Г.Тюренковым части по Тюренкову

совершенно неотвечает поставленной зада­че [9, 10, 48, 54, 63, 64]. Н. Г. Тюренков рассматривает исходный материал как состоящий из обогатимого материала, т. е. такого, который в процессе обогащения должен идеально разделяться на полезный минерал и пустую породу, и необогатимого, который в процессе обогащения не может разделяться на составляющие его

компоненты и попадает ча­стично в концентрат, а ча­стично в отходы. Отношение количества обогатимого ма­териала ко всему количеству материала, поступившего на обогащение, Тюренковым на­звано эффективностью обо­гащения. Более наглядно это видно из рис. 23. Про­центное содержание чистого полезного минерала в обогатимом и необогатимом ма­териале (сростках) Н. Г. Тюренков принимает равным процентному содержанию чистого минерала в исходном материале.

 

 

Рис. 24. Схематическое изображение гипотезы Тюренкова

Такое допущение неверно, так как содержа­ние чистого полезного минерала в этих продуктах различное. Если эту гипотезу представить в виде кривых Анри (рис. 24), то ошибоч­ность рассуждений Тюренкова становится очевидной. По Тюренкову, кривая λ представляется ломаной линией абвгде. Отрезки аб и де теоретически могут быть расположены, как показано на рис. 24, но никак нельзя допустить, что отрезок вг совпадает с лини­ей α. Этот отрезок соответствует необогатимой части исходного материала (сросткам). Содержание полезного минерала или горю­чей массы в сростках будет равным и изменяется в больших преде­лах. Следовательно, кривая λ на участке бд должна быть наклон­ной. Среднее содержание полезного минерала в этой части может быть и больше α, и меньше α, и, как частный случай, равно α. Коли­чество концентрата, которое может получиться в результате обога­щения, Н. Г. Тюренковым выражено формулой

,

где — количество чистого полезного минерала (не связанного с пустой породой) в концентрате;

t— количество исходного материала в концентрате.

 

Однако эта формула совершенно не отражает действительной картины, так как q есть количество обогатимого материала, содер­жащегося в исходном материале, а не в концентрате, как это вы­текает из формулы. Если предположить, что q — количество чисто­го полезного минерала, находящегося в концентрате, то содержа­ние полезного минерала в нем не будет равно α.

Таким образом, величина Р определяет не количество концент­рата, полученного в результате обогащения, как это считает Тюренков, а количество какой-то части рядового материала, кото­рый в процессе обогащения мог бы попасть в концентрат.

Исходя из этого, Н. Г. Тюренков утверждает, что количество полезного минерала в концентрате равно

Так как

Р = q + t.

Следовательно,

.

Такое равенство возможно только тогда, когда концентрат пред­ставляет собой рядовой материал, т. е. когда содержание полез­ного минерала в концентрате равно содержанию его в исходном материале. Это равенство справедливо лишь для такого случая, когда процесс обогащения не произошел. Для случая же, когда процесс обогащения произошел,

Если по определению Ханкока, Луйкена и других измерителем эффективности является разность между степенью извлечения по­лезного элемента в концентрат и выходом концентрата

или в другом выражении

т. е. сочетание величин, получившихся в результате процесса обо­гащения и характеристики исходного материала, то, по Н. Г. Тюренкову, измерителем эффективности является отношение величин, которые имелись до процесса обогащения и от него не зависят, а именно:

Количество обогатимого q и необогатимого Q — q материала для данного исходного угля или руды является постоянным. Сле­довательно, и техническая эффективность в этом случае будет величиной постоянной независимо от того, подвергался этот мате­риал обогащению или нет, т. е. по определению Н. Г. Тюренкова это лишь предрасположенность или степень подготовленности ис­ходного материала обогащению и не характеризует самого про­цесса обогащения. Поэтому нет никакой связи между отношением

и формулой Ханкока — Луйкена

к которой, несмотря на ошибочные допущения, пришел Н. Г. Тюренков [54, 63, 64].

Позже Н. Г. Тюренков [49], разбирая вопрос об определении селективности процесса флотации, рекомендовал пользоваться для установления показателя эффективности формулой

(34)

Эта формула является также несовершенной. Неправильность этой формулы доказана Г. А. Осолодковым [36].

В заключение следует отметить, что формула Ханкока — Луйке­на и других получила наибольшее распространение и признание среди обогатителей. Однако вопрос определения эффективности полиметаллических руд и углей, когда при обогащении получается несколько продуктов, ею не решается. Это является большим не­достатком и в значительной степени ограничивает область ее при­менения.

 

 

Метод Тромпа — Терра

В 1937 г. голландский инженер К.Тромп предложил изображать результаты разделения материала в виде кривой распределения [86].

Он установил, что распределение фракций исходного угля между продуктами обогаще­ния (рис.25) происходит с определенной статистической закономерностью, совпадаю­щей с нормальным законом распределения (законом Гаусса).

Отношение количества отдельной фрак­ции в Рис. 25.Симметричная продукте обогащения (в процентах от

частотная кривая исходного) к количеству одноименной фракции в исходном угле называется раздели­тельным числом фракций

Предположим (табл. 10), что фракция 1500—1600 кг/м³ полно­стью перешла в концентрат и ее разделительные числа будут для концентрата 100%, а для породы — 0.

 

 

Таблица 10 Фракционный состав продуктов обогащения

Плотность фракций, кг/м^3	К онцентрат Порода	Эквива­лентное исходное (3 + 5)	Распределительные числа, %
Выход фракции, % от	Для кривой концентрата Тк (3:6) 100	Для кривой породы Тп (5:6) 100
концентрата	исходного	породы	исходного
<1300	58,53	50,09	0,00	0,00	50,09
1300—1400	24,34	20,83	0,00	0,00	20,83
1500—1600	2,65	2,27	0,00	0,00	2,27
1600—1800	4,47	3,83	0,77	0,11	3,94	97,21	2,79
1800—2000	2,13	1,82	5,29	0,76	2,58	70, 54	29,46
2000—2200	1,17	1,00	13,25	1,91	2,91	34,36	65,61
>2200	0,84	0,72	80,69	11,64	12,36	5,83	94,17
Итого		85,58	100,0	14,42	100,0	_	_

 

Фракция 1600—1800 кг/ж³ при содержании ее в исходном 3,94% в процессе обогащения распределилась между концентратом и по­родой так, что в концентрате содержится 3,83% (от исходного), в породе 0,11%. Разделительные числа, служащие для построения кривой Тромпа, показывают, в каком соотношении произошло это распределение:

ее перешло в концентрат

перешло в породу

Числа 97,21; 2,79 и являются разделительными.

Таким путем разделительные числа находятся и для других

фракций.

В общем виде разделительные числа для концентрата П_к и по­роды П_п представляют следующие отношения:

П_к + П_п= 100%,

Где. γ_к, γ_п—содержание определенной фракции в продукте от ис­ходного, %;

γ_к^исх, γ_п^исх -содержание той же фракции в исходном, %.

Кривая Тромпа (рис.26) строится в координатах, на оси абс­цисс которых откладывается средняя плотность фракций, а на оси ординат — разделительные числа. Так как

П_к + П_п= 100%,

то кривые концентрата и породы симметричны и пересекаются в точке, ордината которой соответствует разделительному числу 50%. Плотностью разделения по кривой Тромпа является плот­ность, при которой соответствующая ей бесконечно малая фракция распределяется равными количествами между двумя продуктами обогащения. По кривой Тромпа без дополнительных построений не­посредственно определяется разделительная плотность.

 

Рис.26. Кривые разделения Т_к и Т_п по Тромпу

Поскольку кривые Тромпа для концентрата Т_к и породы Т_п сим­метричны и П_К = 100 — П_п и наоборот, то нет необходимости в по­строении обеих кривых. В практике обогащения изображаются обычно кривые породы (при делении на два продукта) или промпродукта и породы (при делении на три продукта) для различия кривых разделения с кривой обогатимости λ.

По данным табл. 10 и рис.26 видно, что при идеальных условиях обогащения все фракции с плотностью, меньшей 2000 кг/м³, пере­шли бы в концентрат, а с большей плотностью — в породу. Кривая Тромпа приняла бы вид ломаной линии ABCDE с вертикальной линией BD, проходящей через точку, соответствующую раздели­тельной плотности δ_р.

Практически же кривая имеет вид, аналогичный изображенному на рис.26. Площадь А₁ВС показывает, какая часть суммарной фракции от δ_х1, До δ_р, выражаемая в процентах от этой фракции, по­пала в породу, а площадь CDE₁ — какая часть суммарной фракции от δ_Р до δ_х2 попала в концентрат. Следовательно, чем меньше пло­щади засорения, т. е. чем круче кривая, тем точнее происходит раз­деление в обогатительном аппарате.

На основании исследований Тромп установил, что для данной обогатительной машины при одних и тех же режимах обогащения кривая разделения постоянна и не зависит от качества исходного угля [32, 86]. Однако Вундт и Шефер [32, 87] утверждают обратное.

Они считают, что значения среднего вероятного отклонения Е_р и показателя погрешности I зависят от качества исходного угля, т. е. от его обогатимости, и для данной машины не являются посто­янными величинами. Действительно, при построении кривых Тром­па пользуются разделительными числами, определяемыми путем деления содержания определенной фракции в продукте от исходного на содержание этой же фракции в эквивалент­ном исходном. Несмотря на то, что при определе­нии разделительных чисел исходят из данных, полу­ченных в результате обо­гащения, частота появле­ния той или иной плотнос­ти характеризует исход­ный продукт. На этом основании можно предпо­ложить, что величины ко­эффициентов Е_р и I нахо­дятся в зависимости от ка­чества исходного угля, а характер разделительной кривой Тромпа зависит от обогатимости.

В табл. 11 и на рис.27 и 28 показан пример по­строения дифференциаль­ной и интегральной кри­вых распределения веро­ятностей для одной фрак­ции.

 

Рис.27 Кривая распределения вероятности непрерывной случайной величины

 

 

Таблица 11

Распределение вероятностей при расслоении фракции угля 1400—1600 кг/м³

 

Интервалы плотности S, кг/м^3	Частота плотности t	Beроятность	Плотность вероятности	Суммарная вероятность, F(x)= ΣP
1400—1420		0,003	0,00015	0,003
1420—1440		0,020	0,00100	0,023
1440—1460		0,074	0,00370	0,097
1460—1480		0,150	0,00750	0,247
1480—1500		0,260	0,01300	0,507
1500—1520		0,251	0,01250	0,758
1520—1540		0,154	0,00770	0,912
1540—1560		0,067	0,00335	0,979
1560—1580		0,018	0,00090	0,997
1580—1600		0,003	0,00015	1,000
Итого	г = 300	1,00

 

Впоследствии Тромп и Терра [32, 39, 72, 84—86] опытным путем установили, что кривая разделения имеет форму кривой нормаль­ного распределения, рассматриваемого в теории вероятностей.

Плотность X является непрерывной случайной величиной. Пред­положим, фракция угля 1400—1600 кг/м³ многократно подвергалась тонкому расслаиванию с интервалом плотности 20 кг/м³. При этом частота получения тех или иных фракций оказалась такой, как она показана во второй колонке табл. 11.

На рис.27 в координатной системе XV по оси X отложены от условного нуля (1500 кг/м³) интервалы изменения плотности, а по оси

У — плотности вероят­ностей. Площадь каждого прямоугольника представля­ет собой вероятность (Sy = Р) получения той или иной фракции. Общая пло­щадь всех прямоугольников равна 1, как сумма вероят­ностей. Соединив средние точки прямоугольников плав­ной линией, получим кривую распределения вероятностей случайной величины. Эта кривая представляет собой дифференциальную функцию распределения f(x). Если по­строить кривую суммарной вероятности, т.е.

просуммировать площади, ограниченные

распределения вероятностей дифференциальной кри­вой, получим интегральную кривую распределения f(x) в общем виде:

(35)

при х = - ∞ F(x) = 0,а при х = +∞ F(x) = 1.

Рис 28. Интегральная кривая

Кривая рис. 28 удовлетворяет трем следующим положениям:

1) чем меньше отклонение плотности от средней, тем больше
вероятность данной плотности;

2) равные по величине, но разные по знаку отклонения плотно­
сти от средней равновероятны;

3) для каждого способа измерения существует свой предел.
В этом случае эти пределы 1400—1600 кг/м³.

Аналитически кривая закона нормального распределения вы­ражается уравнением

 

. (36)

В этом уравнении а представляет собой математическое ожида­ние случайной величины х и определяется по формуле

,

где f(x)dx — элемент вероятности.

Математическое ожидание а равно среднеарифметическому зна­чений плотности и по данным табл. 11 может быть вычислено как сумма произведений величин плотности на их вероятности. (х — а) — отклонение случайной величины х от ее среднего значе­ния а оценивается дисперсией σ², а корень квадратный из дисперсии дает среднее квадратическое отклонение:

.

В расчетах по обогащению полезных ископаемых пользуются средним вероятным отклонением Е. Например, в интервале плот­ностей 1400—1600 кг/м³ можно взять такой интервал вправо и вле­во от 1500 кг/м³, что вероятность получения материала плотностью 1500 кг/м³ ± Е составляет 50%. Величина Е и называется средин­ным или вероятным отклонением величины х от ее среднего значе­ния и зависит от а:

Е = 0,6744 σ.

Из уравнения (90) следует, что при х = а

,

т. е. наибольшую вероятность имеет среднее значение случайной величины (максимальная ордината на рис.27). По мере удаления от точки т вероятность падает и при х→ + ∞кривая асимптоти­чески приближается к оси х, т. е. у→0.

Если отсчеты вести от центра рассеивания, то а = 0 и значения х будут выражать отклонения.

В теории вероятностей принято на оси абсцисс откладывать не абсолютные, а относительные отклонения, выраженные в единицах среднеквадратического σ или вероятного отклонения Е. При σ = 1 уравнение принимает вид

 

(37)

 

Это уравнение выражает так называемое «нормированное» рас­пределение случайной величины.

Суммарная вероятность случайной величины в интервале от х₁ до х₂ определяется интегралом

 

Кривая, построенная для различных значений х по значениям интеграла:

(38)

является интегральной кривой нормального распределения.

Вся площадь под дифференциальной кривой распределения равна 1:

 

Таким образом, нормальный закон распределения изображается двумя кривыми: симметричной дифференциальной кривой Гаусса (37), характеризующей плотность ве