Вычисление локальных средних

Б.1 Достоинства КУСУМ-карты - наглядность происходящих изменений среднего уровня процесса, представленного изменениями наклона кривой, и возможность вычисления локальных средних по любую сторону от точки предполагаемого изменения, что достигается без пересчета исходных данных.

Б.2 Простой способ приближенного оценивания локальных средних - помещение на карту транспортира. Любой наклон кривой КУСУМ можно сравнить с транспортиром и определить наклон среднего уровня.

Транспортир (см. рисунок Б.1) содержит веер линий под углами, Соответствующими наклонам кривой КУСУМ для гипотетических значений средних уровней. При построении этих линий учитывают, что для каждого среднего уровня кривая КУСУМ будет иметь средний наклон в ( - Т) единиц КУСУМ на выборочный интервал. Для выбора необходимых значений часто достаточен диапазон Т ± 2 s с разбивкой шкалы по 0,25 или 0,5 .

Рисунок Б.1 - Построение транспортира КУСУМ (указателя наклона) (для ясности показана нетипично крупная шкала)

Для построения транспортира проводят горизонтальную линию, параллельную оси абсцисс i, представляющую средний уровень (опорное значение) Т. Длина линии соответствует 10 выборочным интервалам. Для каждого выбранного отмечают пару точек, которые расположены на 10 ( - Т)единиц КУСУМ справа выше и ниже линии, выбранной за опорную. Соединяют каждую правую точку с левым концом опорной линии и получают веер линий.

Примечание - При применении транспортира для оценивания локальных средних значений полезны кусок прозрачного материала или параллельно перемещающаяся линейка. Сам транспортир можно выполнить на прозрачном материале и накладывать на интересующий интервал КУСУМ-карты.

Б.3 Более точную оценку локального среднего можно получить по численным значениям КУСУМ в двух точках последовательности. Эти значения считывают с контрольной карты или берут прямо из вычисленных табличных значений КУСУМ, если они доступны.

Первый шаг - определение интервала, на котором требуется вычислить среднее. Например, среднее за неделю или месяц для отчетности или за определенный интервал времени может указать на изменение условий в работе. В других случаях КУСУМ-карта может выявить точки возможного изменения как точки изменения наклона кривой КУСУМ («углы»).

Первый и последний номера выборок в требуемом интервале обозначают i + 1 и j. Тогда выборка с номером i - последняя точка предыдущего интервала или 0 (для первого интервала). Любое изменение КУСУМ от C_i и С _{i +1} вызвано вкладом y_i+1 - первой точки рассматриваемого интервала, поэтому необходимы два значения КУСУМ - С_i и С_j.

Б.4 Среднее отклонение от опорного значения за интервал, то есть средний вклад значений выборки в КУСУМ, представляет собой изменение КУСУМ от С_i до С_j, деленное на число значений в интервале.

Действительный средний уровень процесса для интервала получают прибавлением опорного значения к среднему вкладу значений выборки в КУСУМ по формуле

= T + , (Б.1)

где Т - средний уровень процесса или опорное значение;

C_i, С_j - значения кумулятивных сумм в точках i, j соответственно;

i, j - номера выборок.

КУСУМ-карта содержит всю требуемую информацию для этой оценки и не надо обращаться к исходным данным, если вид КУСУМ-карты не указывает на выброс особых значений.

ПРИЛОЖЕНИЕ В
(справочное)

Пример работы с усеченной V-маской

В.1 Отдельные наблюдения были получены в указанном в таблице В.1 порядке, для которых установлено опорное значение Т, равное 15.

Таблица В.1 - Данные для построения КУСУМ-карты

Номер наблюдения*	Полученное значение	Отклонение от опорного значения Т, равного 15	Кумулятивная сумма отклонений	Номер наблюдения*	Полученное значение	Отклонение от опорного значения Т, равного 15	Кумулятивная сумма отклонений
		-3	-3			-3	-22
		+2	-1			-2	-24
		-1	-2			+1	-23
		-1	-3			-3	-26
		+2	-1			+3	-23
		+1				+3	-20
		-1	-1			+2	-18
		-4	-5			+5	-13
		-2	-7				-13
		-1	-8			-1	-14
			-8			+3	-11
		-4	-12			+5	-6
		-1	-13			+1	-5
		+1	-12			+3	-2
		-2	-14			-1	-3
		-1	-15			+1	-2
		-4	-19
* Под наблюдением понимают любое значение характеристики выборки (см. 4.3.2 настоящего стандарта).

Для обычной контрольной карты значения, полученные в результате наблюдений, строят в зависимости от их порядковых номеров. Но из таблицы В.1 видно, что последние двенадцать значений (графа 2) сгруппированы около другого среднего уровня, чем первые двадцать.

КУСУМ-карта дает более ясное представление о поведении данных, чем обычная контрольная карта Шухарта. Значения КУСУМ (графа 4) наносят на карту в зависимости от номеров наблюдений, причем по вертикальной оси у откладывают значения КУСУМ, а по горизонтальной оси х - номера наблюдений (см. рисунок В.1).

Рисунок В.1 - КУСУМ-карта для данных таблицы В.1 (Т =15)

КУСУМ-карту можно разделить на 3 части. Кривая КУСУМ параллельна оси х - то есть является горизонтальной для наблюдений 1-7 (включительно). Кривая идет вниз для наблюдений 8-21 несмотря на локальные выбросы в точках 14, 20. Кривая идет вверх (так же с локальными выбросами) для наблюдений 22-23.

Можно сделать следующие выводы:

а) наблюдения 1-7 представляют выборку из совокупности со средним Т = 15;

б) наблюдения 8-21 представляют выборку из совокупности, среднее которой менее 15;

в) наблюдения 22-33 представляют выборку из совокупности, среднее которой более 15.

В.2 На рисунках В.2 и В.3 представлен шаблон усеченной V-маски, примененный в двух точках карты для данных таблицы В.1 и рисунка В.1. Значение предполагают равным 2,0. При наложении шаблона на номер 16 эта кривая остается между лучами, и интервал между номерами наблюдений 8 и 16 существенно не отличается от опорного значения 15 (см. рисунок В.2). При наложении шаблона на номер 18 кривая касается верхней разрешающей линии, указывая, что к этому времени имеется достаточно информации о сдвиге от опорного значения вниз (см. рисунок В.3).

Рисунок В.2 - Шаблон усеченной V-маски, наложенный на КУСУМ-карту (нет указаний на значимый сдвиг при Т = 15, = 2,0)

Рисунок В.3 - Шаблон усеченной V-маски, наложенный на КУСУМ-карту (имеется указание на значимый сдвиг при Т = 15, = 2)

Необходимы следующие пояснения к рисунку В.3:

а) верхняя разрешающая линия касается кривой с номерами наблюдений 6 и 7, что считается нарушением и дается сигнал о значимом сдвиге;

б) в точке касания разрешающей линии необходимо принять решение о продлении луча шаблона усеченной V-маски;

в) если шаблон усеченной V-маски передвинуть к любому номеру ранее точки 18, то сигнала не будет. Если же этот шаблон наложить на контрольную карту между номерами наблюдений 18 и 21 (конец нисходящего интервала), то будет отмечен значимый сдвиг вниз. Повторное применение шаблона усеченной V-маски не отменяет предыдущий сигнал;

г) сигнал возникает при номере наблюдения 18. Для этой точки получено достаточно информации, подтверждающей вывод об изменении среднего, но изменение предположительно произошло несколько ранее. Анализ КУСУМ-карты показывает, что первыми наблюдениями, в которых среднее сместилось от цели, были точки 7 и 8;

д) аналогичное применение шаблона усеченной V-маски далее выявляет изменение направления кривой по отношению к нижнему лучу, указывающее на сдвиг вверх к 29-й точке наблюдения;

е) в случае управления (корректировки) процесса после нанесения номера наблюдения 18 и получения сигнала при наложении шаблона следует провести управляющее действие. Для определения правильной регулировки, рекомендуется провести оценку нового среднего уровня у по формуле (Б.1):

С₁₈ = - 22, С₆ = 0;

.

Если действия по управлению отложены или неэффективны, то в случае необходимости эту оценку можно пересчитать на более поздней стадии.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г
(обязательное)

Локальные разрешающие линии

Г.1 Существуют два метода применения правила принятия решения. Один метод - с применением табличных данных КУСУМ. Этот метод не предусматривает использования контрольной карты. Другой метод - с построением локальных разрешающих линий на контрольной карте. Этот метод применяют для принятия решения независимо от места появления возможного изменения. Последний метод имеет следующие преимущества: во-первых, нет необходимости строить постоянную V-маску; во-вторых, разрешающую линию можно проводить, когда наклон кривой КУСУМ подсказывает, что возможен сдвиг среднего уровня процесса. Решение не принимают, пока разрешающая линия не коснется или не пересечет кривую КУСУМ, но когда кривая КУСУМ приближается к линии решения, то можно сделать надлежащие превентивные действия. Следует избегать излишних построений на карте, так как теряется ее наглядность.

Г.2 Еще один метод использует то же построение, что при полной или усеченной V-маске. При этом необходимо контролировать кривую КУСУМ и отмечать точки возможных изменений, что обычно соответствует локальным максимумам или минимумам кривой (см. рисунок В.1 приложения В). Для номеров наблюдений 6 и 7 достигаются максимумы, для номера 21 - минимум.

Если неясно, какой из двух номеров наблюдений 6 или 7 использовать, применяют следующее правило: строят линию, нанося ее значение для номера i - 1, где С_i отличается от С_i-1 хотя бы на 2 fs_e (где f - коэффициент наклона). Для данного правила принятия решения f = 0,25, так что y_i должен отличаться от y_i - 1 хотя бы на половину стандартной ошибки в направлении вероятного изменения. В случае использования номеров наблюдений 6 и 7 таблицы В.1 (см. рисунок В.1) имеем:

С₇ = - 1; С₆ = 0; (С₇ - С₆)/ = - 1/2 (при = 2).

Небольшой наклон вниз от С₇ к С₆ дает основание для помещения разрешающей линии в точку наблюдения с номером наблюдения 6.

Г.3 При наличии вероятной точки изменения О проводят вертикальную линию ОА длиной 5 в направлении (вверх или вниз) возможного сдвига среднего. Горизонтальную линию OD проводят из точки вероятного изменения направо. В точке С, находящейся на расстоянии 10 номеров наблюдений правее О, проводят вторую вертикальную линию СВ длиной 10 от горизонтальной линии. Концы двух вертикальных линий, соединяясь, образуют разрешающую линию АВ, которую при необходимости можно продлить вправо. Построение показано на рисунке Г.1.

Рисунок Г.1 - Построение локальной разрешающей линии

Для более общего вида имеем:

ОА = Н;

ОС = d выборочных интервалов;

СВ = 2 H.

Коэффициент наклона f прямой АВ рассчитывают по формуле

.

Построение на рисунке Г.1 приведено для проверки смещения среднего уровня вверх. При подозрении на смещение среднего уровня вниз линии ОА и СВ проводят от горизонтальной линии вниз.

Обычно для расчетов приняты следующие значения: Н = 5 , d = 10.

Г.4 Применение локальной разрешающей линии показано на рисунке Г.2 для данных таблицы В.1 приложения В. Линия, проходящая через точку, полученную для номера наблюдения 6, указывает на номер наблюдения 18, то есть туда, где есть смещение от цели вниз в соответствии с линиями усеченной V-маски.

Рисунок Г.2 - Локальная разрешающая линия, построенная на КУСУМ-карте (Т = 15, = 2)

ПРИЛОЖЕНИЕ Д
(справочное)

Библиография

1 ИСО/ТО 7871-97 Контрольные карты кумулятивных сумм. Руководство по управлению качеством и анализу данных с помощью метода кумулятивных сумм

2 Д. Химмельблау «Обнаружение и диагностика неполадок в химических и нефтехимических процессах»: Пер. с англ. - М.: Химия, 1983

3 Вл. Боровиков (Для профессионалов) Statistica «Искусство анализа данных на компьютере». Изд-во «ПИТЕР». С.-Петербург, Москва, Харьков, Минск, 2001

4 Дж. Мердок «Контрольные карты»: Пер. с англ. - М.: Финансы и статистика, 1986

Ключевые слова: контрольная карта, статистическое управление процессами, правила принятия решений, V-маска