Элементы математического анализа

Пределы и непрерывность

Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.

Если существуют конечные пределы и , то

1) ;

2) ;

3) (если ).

Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:

1) ;

2) ;

3) ; 4) ; 5) .

 

Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ;

 

б) ;

 

в) ;

г) ;

 

д) ;

е) . ж) .

 

Решение. а) Если , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на , где - степень многочлена, стоящего в знаменателе: .

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,

.

в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:

(Так как при ).

г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:

.

Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит , где .

 

Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.

Например, задача ж имеет следующее решение:

.

 

 

Производная функции

Производная функция от функции в данной точке определяется равенством

.

Таблица производных выглядит следующим образом:

1. . 2. .

3. , в частности .

4. , в частности .

5. . 9. .

6. . 10. .

7. . 11. .

8. . 12. .

Основные правила дифференцирования

1. 2. , в частности, 3. , где

Задача. Найти производные следующих функций:

а) ; б) .

Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим

.

Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим =

= .

б) Проведем предварительное преобразование функции:

= .

Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим

=

= .

 

Дифференцирование сложной функции

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

,

где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.

 

Задача. Найти производные следующих функций:

 

а) ; г) ;

б) ;

в) ;

Решение. а) Функцию представим как композицию функций и . Используя таблицу производных, находим: , .

Тогда

.

б) Функцию представим как композицию функций ,

и .Найдем производные по промежуточным аргументам: , и .

Производную сложной функции находим по формуле . Окончательно получим = .

Аналогично решается задача в:

=

= = .

г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида

,

находим производную:

.

 

 

Методические указания к выполнению

Контрольной работы № 2

Приложение производной функции одной переменной

Теорема Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением, может быть, самой точки и непрерывны в этой окрестности (включая саму точку ), причем и = =0. Тогда, если существует , то существует и эти пределы равны, то есть

.

Таким образом, для нахождения предела (для раскрытия неопределенности типа ()) достаточно найти производные числителя и знаменателя дроби и вычислить предел .

Такое же правило применяется при , а также для раскрытия неопределенностей типа ().

Замечание. Если производные числителя и знаменателя в свою очередь стремятся к нулю или , то описанное правило применяется повторно и так далее.

 

Пример. Вычислить .

Решение.

.

 

Пример. Вычислить .

Решение.

= .

 

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке , то наибольшее и наименьшее значения она принимает или на концах этого отрезка, или в точках ее экстремума. Следовательно, для решения поставленной задачи надо найти значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку. Затем из них выбрать наименьшее и наибольшее значения.

 

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Определяем критические, или стационарные, точки функции :

; ; ; .

Рассматриваем только те стационарные точки, которые принадлежат отрезку . Такой точкой является точка .

Вычисляем значения функции на концах промежутка и в точке :

1) ;

2) = ;

3) = .

Ясно, что наибольшее значение функции будет равно , которое она принимает в точке ; наименьшее значение принимается функцией в точке и равно .

 

 

Общее исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме:

1) Найти область определения функции.

2) Найти точки пересечения с осями координат.

3) Выяснить, не является ли функция четной или нечетной, периодической или непериодической.

4) Найти точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции.

5) Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

6) Найти асимптоты графика функции.

7) Используя результаты исследований, построить график функции.

 

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1) Функция определена и непрерывна на всей оси. Итак, .

 

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: , .

Следовательно, точки пересечения с осью ОХ - , , , ;

б) с осью ОY: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .

 

3) Функция четная, так как (поэтому ее график будет симметричен относительно оси OY).

Функция непериодическая.

 

4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Имеем =0. Следовательно, точки , , будут подозрительными на экстремум. Разбиваем всю область определения на промежутки , , , и исследуем функцию для . Информация о поведении функции на интервале необходима для анализа функции в точке . По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:

 

	Возрастает		Убывает		Возрастает

 

5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную: . Находим точки, в которых или не существует.

при .

Исследуем знак второй производной на промежутках , , и результаты исследований представим в таблице:

 

	Выпукла	Перегиб	Вогнута	Перегиб	Выпукла

 

6) Вертикальных асимптот нет, поскольку область определения функции – вся числовая ось.

Найдем наклонную асимптоту :

= .

Следовательно, наклонных асимптот нет.

 

7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.1).

 

 

Рис. 1

 

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1) Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки . Итак, .

 

2) Найдем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОХ - .

б) с осью ОY: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY - .

 

3) Функция общего вида, так как .

Функция непериодическая.

 

4) С помощью первой производной найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Имеем .

Следовательно, точка будет подозрительной на экстремум. Точка , в которой производная не существует, но в этой точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки , , и исследуем функцию на указанных интервалах. По знаку производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Результаты исследований заносим в таблицу:

 

				нет
	Убывает		Возрастает	нет	Убывает

 

5) Чтобы исследовать функцию на выпуклость, найдем вторую производную:

.

Находим точки, в которых или не существует: при , не существует при .Исследуем знак второй производной на промежутках , , и результаты исследований представим в таблице:

 

				нет
	Вогнута	Перегиб	Выпукла	нет	Выпукла

 

6) Найдем вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции в окрестности точки :

; .

Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет вид: .

Найдем наклонную асимптоту :

;

.

Следовательно, наклонная асимптота: .

 

7) На основе проведенного исследования функции строим ее график (рис.2).

 

 

 

Рис. 2

 

Неопределенный интеграл

 

Функция называется первообразной функции на некотором интервале , если для всех значений . Если — первообразная , то очевидно, что бесконечное множество всех первообразных , отличающихся только константой, также будет первообразной . Множество всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . При этом называется подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — переменной интегрирования.

Согласно вышеприведенному:

,

где — некоторая первообразная функции ; — произвольная постоянная.

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:

1) .

2) .

3) , где .

4) .

5) .

Таблица основных неопределенных интегралов:

 

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)