Z-перетворення, функція переносу.

Одним із способі аналізу дискретних послідовностей є z-перетворення. Перетворення полягає у тому, що послідовності чисел {x(k)} ставиться у відповідність функція комплексної змінної z, яка визначається наступним чином:

- симетричне;

- несиметричне;

Z-перетворення є більш узагальненим, ніж перетворення Лапласа і перетворення Фур’є:

X(z) ---> X(p) ---> X(ω)

Z-перетворення є неоднозначним.

До основних властивостей z-перетворення належать:

 

1. Лінійність. До z-перетворення застосовується принцип суперпозиції:

Якщо {x₁(k)} <---> X₁(z) і {x₂(k)} <---> X₂(z), тоді {ax₁(k) + bx₂(k)} <---> aX₁(z) + bX₂(z).

 

2. Затримка. Якщо z-перетворення послідовності {x(k)} дорівнює X(z), то z-перетворення послідовності, затриманої на k₀ тактів (y(k)=x(k-k₀)), буде мати вигляд:

Таким чином, при затримці послідовності на k₀ тактів необхідно помножити її z-перетворення на . Множник є оператором затримки дискретної послідовності на k₀ тактів.

 

3. Згортка. Згортка двох нескінченних послідовностей {x₁(k)} і {x₂(k)} визначається наступним чином:

Z-перетворення для послідовності {y(k)}:

Згортці двох дискретних послідовностей відповідає добуток їх z-перетворень.

Зворотне z-перетворення:

Практичний розрахунок зворотного z-перетворювання виконується розкладанням Х(z) на прості дроби. Наприклад:

Отже:

Функція переносу. . Функцією переносу G(z) називається відношення z-перетворення вихідної послідовності цифрового фільтра до z-перетворення вхідної послідовносты. Функція переносу є аналогом передаточної функції G(ω) і перетворюється у таку, якщо .

Функція переносу нерекурсивного фільтру.

 

Для нерекурсивного цифрового фільтра функція переносу визначається наступним чином:

- нерекурсивний фільтр.

Візьмемо z-перетворення:

, де A(z) – z-пер. Від коефіцієнтів, X(z) – z-пер. від вхідної послідовності.

- функція переносу для нерекурсивного фільтра.

Функція переносу для нерекурсивного фільтра дорівнює z-перетворенню від коефіцієнтів фільтра а_к.

Функція переносу рекурсивного фільтру.

- рекурсивний фільтр.

, де b_o^*=1, b₁^*=-b₁, b_k^*=-b_k

Візьмемо z-перетворення:

=>

=>

- функція переносу для рекурсивного фільтра.

Функція переносу для рекурсивного фільтра дорівнює відношенню z-перетворення вихідної послідовності до z-перетворення вхідної послідовності відлікових значень, або відношення z-перетворення від коефіцієнтів а_к до z-перетворення від коефіцієнтів b_к.

Основні теореми Z-перетворення.

 

1. Сумування та віднімання Z-пер.

2. Помноження на константу

3. Зсув на n-тактів по часовій області

- це тоді, коли f (t)=0, t <0