Магические квадраты из домино.

На рис. 7 показан квадрат из 18 косточек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда – продольного, поперечного или диагонального – одна и

Рис. 7.

Рис. 8.

та же: 13. Подобные квадраты издавна называются "магическими".

Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых магических квадратов, но с другой суммой очков в ряду. 13 – наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма – 23.

<Paaaa

Прогрессия из домино.

Вы видите на рис. 8 шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на 1. Ряд начинается с 4 и состоит из следующих чисел очков:

4; 5; 6; 7; 8; 9.

Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту же величину, называется "арифметической прогрессией". В нашем ряду каждое число больше предыдущего на 1; но в прогрессии может быть и любая другая "разность".

Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточковых прогрессий.

<Paaaa

ИГРА В 15, ИЛИ ТАКЕН

Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр, математика В. Аренса.

Рис. 9. Игра в 15.

"Около полувека назад – в конце 70-х годов – вынырнула в Соединенных Штатах "игра в 15"; она быстро распространилась и, благодаря несчетному числу игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие.

"То же наблюдалось по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пассажиров коробочки с 15 шашками. В конторах и магазинах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынуждены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселительных заведений ловко использовали эту манию и устраивали большие игорные турниры.

Игра проникла даже в торжественные залы германского рейхстага. "Как сейчас вижу в рейхстаге седовласых людей, сосредоточенно рассматривающих в своих руках квадратную коробочку", – вспоминает известный географ и математик Зигмунд Гюнтер, бывший депутатом в годы игорной эпидемии.

"В Париже игра эта нашла себе приют под открытым небом, на бульварах, и быстро распространилась из столицы по всей провинции. "Не было такого уединенного сельского домика, где не гнездился бы этот паук, подстерегая жертву, готовую запутаться в его сетях", – писал один французский автор.

"В 1880 г. игорная лихорадка достигла, по-видимому, своей высшей точки. Но вскоре после этого тиран был повержен и побежден оружием математики. Математическая теория игры обнаружила, что из многочисленных задач, которые могут быть предложены, разрешима только половина; другая не разрешима никакими ухищрениями.

"Стало ясно, почему иные задачи не поддавались самым упорным усилиям, и почему устроители турниров отваживались назначать огромные премии за разрешения задач. В этом отношении всех превзошел изобретатель игры, предложивший издателю нью-йоркской газеты для

Рис. 10.

Рис. 11.

воскресного приложения неразрешимую задачу с премией в 1000 долларов за ее разрешение; так как издатель колебался, то изобретатель выразил полную готовность внести названную сумму из собственного кармана. Имя изобретателя Самуэль (Сэм) Лойд. Он приобрел широкую известность как составитель остроумных задач и множества головоломок. Любопытно, что получить в Америке патент на придуманную игру ему не удалось. Согласно инструкции, он должен был представить "рабочую модель" для исполнения пробной партии; он предложил чиновнику патентного бюро задачу, и когда последний осведомился, разрешима ли она, изобретатель должен был ответить: "Нет, это математически невозможно". "В таком случае, – последовало возражение, – не может быть и рабочей модели, а без модели нет и патента". Лойд удовлетворился этой резолюцией, – но, вероятно, был бы более настойчив, если бы предвидел неслыханный успех своего изобретения". [Этот эпизод использован Марком Твеном в его романе "Американский претендент".]

Приведем собственный рассказ изобретателя игры о некоторых фактах из ее истории:

"Давнишние обитатели царства смекалки, – пишет Лойд, – помнят, как в начале 70-х годов я заставил весь мир ломать голову над коробкой с подвижными шашками, получившей известность под именем "игры в 15" (рис. 10). Пятнадцать шашек были размещены в квадратной коробочке в правильном порядке, и только шашки 14 и 15 были переставлены, как показано на прилагаемой иллюстрации (рис. 11). Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в нормальное положение, причем, однако, порядок шашек 14 и 15 должен быть исправлен.

"Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказывали забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого открывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролет простаивавших под уличным фонарем, отыскивая путь к решению. Никто не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожидающем их успехе. Штурманы, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций; фермеры забрасывали свои плуги".

* * *

Познакомим читателя с начатками теории этой игры. В полном виде она очень сложна и тесно примыкает к одному из отделов высшей алгебры ("теория определителей"). Мы ограничимся лишь некоторыми соображениями, изложенными В. Аренсом.

"Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы посредством последовательных передвижений, допускаемых наличием свободного поля, перевести любое начальное расположение 15 шашек в нормальное, т. е. в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо – 2, затем 3, потом в верхнем правом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8 и т. д. Такое нормальное конечное расположение мы даем здесь на рис. 10.

"Вообразите теперь расположение, при котором 15 шашек размещены в пестром беспорядке. Рядом передвижений всегда можно привести шашку 1 на место, занимаемое ею на рисунке.

"Точно так же возможно, не трогая шашки 1, привести шашку 2 на соседнее место вправо. Затем, не трогая шашек 1 и 2, можно поместить шашки 3 и 4 наих нормальные места: если они случайно не находятся в двух последних вертикальных рядах, то легко привестиих в эту область и затем рядом передвижений достичь желаемого результата. Теперь верхняя строка 1, 2, 3, 4 приведена в порядок, и при дальнейших манипуляциях с шашками мы трогать этого ряда не будем. Таким же путем стараемся мы привести в порядок и вторую строку: 5, 6, 7, 8; легко убедиться, что это всегда достижимо. Далее, на пространстве двух последних рядов необходимо привести в нормальное положение шашки 9 и 13; это тоже всегда возможно. Из всех приведенных в порядок шашек 1, 2, 3, 4,5,6,7,8,9 и13 в дальнейшем ни одной не перемещают; остается небольшой участок в шесть полей, в котором одно свободно, а пять остальных заняты шашками 10, 11, 12, 14, 15 в произвольном порядке. В пределах этого шестиместного участка всегда можно привести на нормальные места шашки 10, 11, 12. Когда это достигнуто, то в последнем ряду шашки 14 и 15 окажутся размещенными либо в нормальном порядке, либо в обратном (рис. 11). Таким путем, который читатели легко могут проверить на деле, мы приходим к следующему результату.

"Любое начальное положение может быть приведено к расположению либо рис. 10 (положение I), либо рис. 11 (положение II).

"Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквою S, может быть преобразовано в положение I, то, очевидно, возможно и обратное – перевести положение I в положение S. Ведь все ходы шашек обратимы: если, например, в схеме I мы можем шашку 12 поместить на свободное поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположными движениями.

"Итак, мы имеем две такие серии расположении, что положения одной серии могут быть переведены в нормальное I, а другой серии – в положение II. И наоборот, из нормального расположения можно получить любое положение первой серии, а из расположения II – любое положение второй серии. Наконец, два любых расположения, принадлежащих к одной и той же серии, могут быть переводимы друг в друга.

"Нельзя ли идти дальше и объединить эти два расположения – I и II? Можно строго доказать (не станем входить в подробности), что положения эти не превращаются одно в другое никаким числом ходов. Поэтому все огромное число размещений шашек распадается на две разобщенные серии: 1) на те, которые могут быть переведены в нормальное I: это – положения разрешимые, 2) на те, которые могут быть переведены в положение II и, следовательно, ни при каких обстоятельствах не переводятся в нормальное расположение: это – положения, за разрешение которых назначались огромные премии.

"Как узнать, принадлежит ли заданное расположение к первой или ко второй серии? Пример разъяснит это.

"Рассмотрим такое расположение.

"Первый ряд шашек в порядке, как и второй, за исключением последней шашки (9). Эта шашка занимает место, которое в нормальном расположении принадлежит 8.Шашка 9 стоит, значит, ранеешашки 8: такое упреждение нормального порядка называют "беспорядком". О шашке 9 мы скажем: здесь имеет место 1 беспорядок. Рассматривая дальнейшие шашки, обнаруживаем "упреждение" для шашки 14; она поставлена на три места (шашек 12, 13, 11) ранее своего нормального положения; здесь у нас 3 беспорядка (14 ранее 12; 14 ранее 13; 14 ранее 11). Всего мы насчитали уже 1 + 3 = 4 беспорядка. Далее, шашка 12 помещена ранее шашки 11, и точно так же шашка 13 ранее шашки 11. Это дает еще 2 беспорядка. Итого имеем 6 беспорядков. Подобным образом для каждого расположения устанавливают общее число беспорядков, освободив предварительно последнее место в правом нижнем углу. Если общее число беспорядков, как в рассмотренном случае, четное, то заданное расположение может быть приведено к нормальному конечному; другими словами, оно принадлежит к разрешимым. Если же число беспорядков нечетное, то расположение принадлежит ко второй серии, т. е. к неразрешимой (нуль беспорядков принимается за четное число их).

Рис. 13.

Рис. 14.

"Благодаря ясности, внесенной в эту игру математикой, прежняя лихорадочная страстность в увлечении сейчас совершенно немыслима. Математика создала исчерпывающую теорию игры, теорию, не оставляющую ни одного сомнительного пункта. Исход игры зависит не от каких-либо случайностей, не от находчивости, как в других играх, а от чисто математических факторов, предопределяющих его с безусловной достоверностью".

Обратимся теперь к головоломкам в этой области.

Вот несколько разрешимых задач, придуманных изобретателем игры:

<Paaaa

Первая задача Лойда.

Исходя из расположения, показанного на рис. 11, привести шашки в правильный порядок, но со свободным полем в левом верхнем углу (рис. 13).

<Paaaa

Вторая задача Лойда.

Исходя из расположения рис. 11 поверните коробку на четверть оборота и передвигайте шашки до тех пор, пока они не примут расположения рис. 14.

<Paaaa

Третья задача Лойда.

Передвигая шашки согласно правилам игры из расположения рис. 11, превратите коробку в "магический квадрат", а именно, разместите шатки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30.

<Paaaa

КРОКЕТ

Занимаясь головоломками, относящимися к домино и игре 15, мы оставались в пределах арифметики. Переходя к головоломкам на крокетной площадке, мы вступаем отчасти в область геометрии.

Предлагаю крокетным игрокам следующие пять задач.

<Paaaa