Линейная и векторная алгебра.

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными.

Определение. Число , составленное из элементов квадратной матрицы , называется определением второго порядка.

Определитель второго порядка обозначают иногда как или :

.

Например: .

Рассмотрим систему линейных уравнений и)составим:

- главный определитель системы,

и ‑ вспомогательные определители системы.

Вспомогательные определители системы получаются из главного определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестном (в ∆₁) и столбца коэффициентов при неизвестном (в ∆₂) столбцом свободных членов. Решение системы находим по правилу Крамера: , (при условии ).

 

Определители 3-го порядка, системы 3-х уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим матрицу из девяти элементов (три строки и три столбца):

Первый индекс элемента обозначает номер строки, второй ‑ номер столбца.

Определение. Определением третьего порядка называется число, обозначаемое символом

Для запоминания формулы служит геометрическое правило Саррюса. Складываем произведение элементов, расположенных на главной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными главной диагонали и с вершиной на крайнем элементе побочной диагонали:

, , .

Вычитаем произведение элементов, расположенных на побочной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными побочной диагонали и с вершиной на крайнем элементе главной диагонали:

, , .

Правило Саррюса часто называют так же правилом треугольников и схематично изображают с помощью диаграмм:

 

Как и выше, используя определители 3-го порядка, можно по правилу Крамера найти решение системы линейных уравнений

().

Здесь ‑ соответственно главный определитель и три вспомогательных определителя

, , , .

Вспомогательные определители получаются из главного заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец правых частей.

Скалярное произведение двух векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла меду ними и обозначаемое

или .

Если векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение . Обратно, если скалярное произведение векторов , то векторы и перпендикулярны.

Зная декартовы координаты векторов и

,

можно найти их длины

, ,

скалярное произведение

,

и косинус угла между ними

.

Перечислим основные свойства векторного произведения:

1) , (из следует и обратно);

2) (переместительный закон);

3) (распределительный закон);

4) .