Инструкция по работе с методическим указанием.

МАТЕМАТИКА

Часть первая

 

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников первого курса МИППС специальностей 130501, 130503,130504, 130602, 140101, 140104, 140211, 140607

Краснодар

 

 

Составители:ассистент В.Н. Лисянская;

к.ф.-м.н., доцент, И.В. Терещенко

 

 

УДК 517

 

Математика. Часть первая. Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников первого курса МИППС специальностей 130501, 130503,130504, 130602, 140101, 140104, 140211, 140607 / Сост.: В.Н. Лисянская, И.В. Терещенко; Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. Общей математики. – Краснодар: 2009. – 31 с.

 

 

В методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.

 

Ил. 2 Библиогр.: 6 назв.

 

 

Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.

 

 

Рецензенты: канд. тен. наук Силинская С.М.

канд. тех. наук Нестеров С.В.

 

Содержание

 

 

Введение …………………..…………………………………………
1. Инструкция по работе с методическим указанием ………….…
2. Программа дисциплины ……………………………………..…...
3. Контрольные работы ……..……………….…………….……….
4. Темы практических занятий …………………………………......
5. Содержание и оформление контрольных работ ……………….
6. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету) …………….…….
7. Задания на контрольную работу №1…….………..……………..
Список рекомендуемой литературы …………………………..…...

 

Введение

Инженер должен в области математики иметь представление:

- о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений;

- о математическом моделировании;

- об информации, методах ее хранения, разработки и передачи.

Знать и уметь использовать:

- основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики;

- математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

- вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели.

Иметь опыт:

- употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;

- исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов:

- использования основных приемов обработки экспериментальных данных;

- аналитического и численного решения алгебраических уравнений;

- исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

- аналитического и численного решения основных уравнений математической физики;

- программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения;

Цель курса «Математика»:

- дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин;

- привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления;

- овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности;

- выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач.

 

Инструкция по работе с методическим указанием.

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример.

Литература: [2, гл.2 c. 3-9], [4, c. 143-162],

где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.

В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.

 

2 Программа дисциплины.

 

Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры.

Определители второго и третьего порядков, их свойства, вычисление. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Понятие вектора. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты. Некоторые приложения. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты. Некоторые приложения. Смешанное произведение векторов и его свойства и геометрический смысл. Выражение смешанного произведения через координаты. Некоторые приложения.

Литература: [3, c. 123 – 129, 153 – 165], [4, c. 259 – 268, 223 – 239 ],

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление определителя третьего порядка.

2. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера.

3. Определение скалярного произведения векторов.

4. Понятие векторного произведения векторов, его приложения.

5. Смешанное произведение векторов, его приложения.

 

Тема 2 .Элементы аналитической геометрии.

Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Литература: [2, с. 15-23], [4, гл.3 c. 43-49, гл.9 с.244-252].

Вопросы для самоконтроля.

1. Уравнения прямой на плоскости.

2. Взаимное расположение прямых на плоскости.

3. Плоскость в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, уравнение плоскости по точке и нормали.

4. Угол между плоскостями.

5. Уравнения прямой в пространстве.

 

Тема 3. Введение в математический анализ.

Понятие функции. Предел функции. Односторонние пределы. Предел функции при . Бесконечно малые и бесконечно большие функции, связь между ними. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательный пределы. Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва и их классификация.

Литература: [1, гл.2 §2-11], [4, гл.4 §2-9].

Вопросы для самоконтроля.

1. Что называется пределом функции.

2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

3. Раскрытие неопределенностей 0/0 и ∞/∞.

4. Первый и второй замечательный пределы, их следствия.

5. Дать определение непрерывности функции.

6. Точки разрыва и их классификация.

 

Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная функции, ее геометрический смысл. Основные правила и формулы дифференцирования. Производная сложной, обратной функции. Производные высших порядков. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Приложения производной. Правило Лопиталя. Условия монотонности функций. Необходимое и достаточное условия экстремума. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

Литература:[1, гл.3 §2-16, гл.5 §2-11], [4, гл.5 §1-7, гл.6 §2,4], [2, гл.7 §1,2].

Вопросы для самоконтроля.

1. Дать определение производной функции, ее геометрический и физический смысл.

2. Сформулировать основные правила дифференцирования.

3. Основные приложения производной.

4. Как определить промежутки монотонности и экстремумы функции.

5. Нахождение асимптот графика функции.

6. Сформулировать необходимое и достаточное условия экстремума.

7. Определение выпуклости и вогнутости, точек перегиба графика функции.

Тема 5 .Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Приближенное значение определенного интеграла. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Литература: [4, гл7,8 с. 159-221].

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление неопределенных интегралов.

2. Определенный интеграл и его приложения.

3. Вычисление несобственных интегралов первого и второго рода.

4. Вычисление приближенного значения интеграла с помощью формулы Симпсона.

Контрольные работы.

Программой дисциплины «Математика» для студентов I курса в первом семестре предусмотрено выполнение контрольных работ №1.

При выполнении контрольной работы №1 необходимо изучить элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. Изучить теорию пределов. Научиться вычислять основные типы пределов ‑ неопределенности , первый и второй замечательный пределы. Изучить понятие непрерывности функции, точки разрыва и их классификацию. Изучить основы дифференциального исчисления функции одной и нескольких переменных, а также их приложения к исследованию функции одной и нескольких переменных. Изучить понятие неопределенного и определенного интеграла.

Аналитическая геометрия

Прямая в пространстве.

Каноническим уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору , называется уравнение вида:

.

Вектор называется направляющим . Если даны две прямые с направляющими векторами и , то косинус угла между этими прямыми определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)

.

Плоскость в пространстве.

Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение

.

Вектор называется нормальным вектором плоскости. Если даны две плоскости с нормальными векторами и , то косинус угла между этими плоскостями определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)

.

Если даны три точки , и , то уравнение плоскости, проходящей через три точки находится по формуле:

.

Задание 1. По координатам вершины пирамиды найти:

1. длину ребер и ;

2. угол между ребрами и ;

3. площадь грани ;

4. объем пирамиды ;

5. уравнение прямых ; ;

6. уравнения плоскостей и ;

7. угол между плоскостями и .

Пример. Выполнить задание 1, если , , , .

1) Если заданы точки , , и то координаты векторов , и их длины , равны:

а) ,

.

б) ,

.

2) Угол между ребрами и находим как угол между векторами и . Из определения скалярного произведения следует, что этот угол вычисляется по формуле:

.

Скалярное произведение находим через декартовы координаты:

.

Тогда

.

Откуда (вычисления проводим на инженерном калькуляторе)

3) ‑ площадь треугольника, построенного на векторах и . Зная их декартовы координаты, находим векторное произведение

,

, , .

Тогда

.

4) Учитывая геометрический смысл смешанного произведения векторов, получим формулу для вычисления объема пирамиды:

.

Найдем координаты вектора :

Смешанное произведение этих векторов найдем через их декартовы координаты

.

Отсюда

.

5) Найдем канонические уравнение прямых и . За направляющие вектора примем вектора и . За точку лежащую на этих векторах примем точку

прямая : ;

прямая : .

6) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и находится по формуле:

.

Составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости найдено . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

Аналогично составимуравнение плоскости, проходящей через три точки , , .

или .

Разложив определить по первой строке, получим

.

Итак, уравнение плоскости имеет вид . Коэффициенты уравнения образуют нормальный вектор .

7) Угол , образованный двумя плоскостями и находится по формуле

, где и ‑ нормали плоскостей и .

Подставляя их значения из пункта 6) находим величину угла (расчеты выполняем на инженерном калькуляторе)

Задание №2

а) Найти решение системы с помощью правила Крамера;

б) Записать систему в матричной форме и решить средствами матричного исчисления.

Пример.

а) Составим и вычислим главный и вспомогательные определители системы:

,

,

,

.

Находим по правилу Крамера решение системы

.

б) Составим матрицу коэффициентов системы и столбец правых частей

,

и найдем обратную матрицу по формуле:

,

где и ‑ соответственно алгебраические дополнения и миноры, связанные между собой соотношением , а - определитель матрицы , вычисленный в пункте а). Найдем миноры:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Составим теперь обратную матрицу

и найдем столбец неизвестных по формуле :

.

Отсюда .

Задание №3. Вычислить пределы функций, не пользуясь средствами дифференциального исчисления

При вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель дроби — величины бесконечно большие, т.е. получаем выражение которое представляет собой неопределённость. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень .

Пример 1. .

Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :

.

(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

В том случае, когда при вычислении предела дробно-рациональной функции при числитель и знаменатель имеют предел, равный нулю, т.е. имеем неопределенность , надо разделить их на и перейти к пределу. Если после деления окажется, что при числитель и знаменатель снова имеют пределы, равные нулю, то надо произвести повторное деление на .

Пример 2. .

Данный предел имеет неопределенность вида , так как числитель и знаменатель при стремятся к 0. Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе рациональной дроби на линейные множители по формуле , где и — корни квадратного трёхчлена

.

Сократив рациональную дробь на , получим:

.

При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется первый замечательный предел

и его следствия:

.

Пример 3. .

Преобразовав разность косинусов в произведение, получим

.

Если в пределе встречается неопределенность , то используется второй замечательный предел или .

Пример 4. .

Выполнив преобразования и применив второй замечательный предел, найдём

.

Пример 5. .

Выполнив преобразования и применив формулу , найдём

.

Задание №4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва функции и определить их тип.

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) функция определена в точке х₀ и ее окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке

Если в точке не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции, то такая точка называется точкой разрыва. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и .

При этом:

1) если , то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

2) если , то х₀ называется точкой конечного разрыва, а величину называют скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример.

Дана функция . Найти точки разрыва, определить их тип.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки . Очевидно, что

.

Следовательно , . Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен .

Задание №5. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила дифференцирования.

При выполнении данного задания необходимо знать правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного двух функций), а также изучить таблицу производных.

Пример.

1) .

.

2) .

.

3) Найти .

Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: .

; .

Тогда .

Задание №6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции , проведенных в данной точке .

Приведем уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке

,

и уравнение нормали к этой касательной

.

Пример.

Для функции в точке с абсциссой составить уравнение касательной и уравнение нормали.

1) Найдем значение функции .

2) Найдем значение :

, .

3) Составим уравнения касательной и нормали:

– искомое уравнение касательной;

– искомое уравнение нормали.

Задание №7. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя.

Напомним правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и :

Пусть и – функции, имеющие производные в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть при стремлении обе эти функции стремятся одновременно к нулю или к бесконечности. Тогда, если существует предел отношения их производных при , то существует и предел отношения самих функций при , причем оба эти пределы равны:

.

Замечания:

1) Правило Лопиталя остается справедливым и в том случае, если и или при или при .

2) Если опять дает неопределенность вида или , то правило Лопиталя следует применить еще раз.

Примеры:

1) .

2) .

3) .

Задание №8. Построить график функции , используя общую схему исследования функций.

Общая схема исследования функции и построения графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить тип функции (четность, нечетность).

3. Найти точки пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти асимптоты графика функции:

а) вертикальные; б) невертикальные (наклонные).

5. Найти точки возможного экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Построить график функции, учитывая проведенные исследования.

Пример. Построить график функции .

1. Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме (в этом случае знаменатель равен нулю).

2. Для определения типа функции найдем значение

.

Следовательно, функция не является ни четной ни нечетной.

3. Так как уравнение не имеет действительных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью ОХ, но пересекает ось ОУ в точке .

Определим интервалы знакопостоянства функции:

.

.

4. Найдем асимптоты графика функции.

а) Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва :

, .

Следовательно прямая является вертикальной асимптотой.

б). Определим существование наклонной асимптоты:

,

.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту при .

5. Для нахождения точек возможного экстремума найдем производную функции:

 

.

Приравняем . Решая уравнение , находим корни производной и .

Исследуем знак производной. Для чего решим неравенство

Находим знаки на промежутках, учитывая корни и квадратного трехчлена :

, ; , ;

, ; ; .

Следовательно, функция возрастает на промежутках

и ,

и убывает на промежутках

и .

По изменению знака получаем точки локальных экстремумов:

, ,

, .

6. Для нахождения точек перегиба и интервалов выпуклости, вогнутости найдем вторую производную функции:

.

Так как в нуль не обращается, то точек перегиба у функции нет.

Исследуем знак второй производной, решая неравенство :

при и при .

Следовательно, на интервале график направлен выпуклостью вверх (выпуклый), а на интервале – выпуклостью вниз (вогнутый).