Методы вычисления пределов функции.

Определение: Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Если она непрерывна в точке а, то назовем ее значение в точке пределом функции при стремлении х к а и будем писать

.

Если функция разрывна в точке , то может случиться, что этот разрыв устранимый. Тогда можно изменить значение функции в точке или доопределить ее в этой точке так, что в результате получится функция, непрерывная в точке .

Примеры:

1. Вычислить .

Т.к. функция непрерывна в точке , то предел функции при , равен ее значению в этой точке, т.е.

.

2. Вычислить .

Здесь нельзя воспользоваться рассуждением предыдущего примера, поскольку функция не определена, а значит, разрывна в точке . Выполним некоторые преобразования аналитического выражения этой функции:

.

В проколотой окрестности точки функция
совпадает с функцией , непрерывной в этой точке и принимающей в ней значение . Таким образом

.

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при , то предел этой алгебраической суммы при существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.

.

Терема 2. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то предел произведения при равен произведению пределов сомножителей.

.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 

.

Следствие 2. Если функция имеет предел при , то предел при целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, т.е.

,(n – натуральное число).

Теорема 3. Если функция имеет предел при , отличный от нуля, то предел при обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции, т.е.

.

Теорема 4. Если делимое и делитель имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного (дроби) при равен частному пределов делимого (числителя дроби) и делителя (знаменателя дроби), т.е.

.

Теорема 5. Если функция имеет предел при и
(n – натуральное число) существует в точке и в некоторой ее окрестности, то

.

 

Решение типовых заданий

Пример 1. Найти: а) ; б) ; в) ; г) .

Р е ш е н и е: а) На основании непрерывности функции в точке х=7 искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е. .

б) При числитель (3х+5) стремится к (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель (х-5) – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной); очевидно, их отношение есть величина бесконечно большая, т.е. = .

в) =0, ибо отношение ограниченной функции sinx к бесконечно большой величине х (при ) есть величина бесконечно малая.

г) =0, т.к. произведение бесконечно малой величины х (при ) на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

Заметим, что этот предел нельзя вычислять с помощью теоремы о пределе произведения, поскольку не существует (при аргумент косинуса изменяется непрерывно вдоль числовой оси до бесконечности, при этом значения колеблются от -1 до 1 и от 1 до -1, не стремясь ни к какому числу (пределу).

В рассмотренных примерах предел находится сразу: в виде числа или символа . Но чаще при вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределенностями, когда результат нахождения предела неясен: например, в случае отношения двух бесконечно малых функций (условное обозначение ) или бесконечно больших . Кроме отмеченных неопределенностей вида и в математическом анализе рассматриваются также неопределенности вида , , , , .

Пример 2. Найти:

а) ; б) ; в) .

Р е ш е н и е: а) для раскрытия неопределенности вида

Разложим числитель на множители и сократим дробь множитель (х-1): сокращение возможно, т.к. при (х-1) стремится к нулю, но не равен нулю.

= = = .

б) Для раскрытия неопределенности вида умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

в) Для раскрытия неопределенности вида удобно предварительно сделать замену (тогда , при ), а затем полученные многочлены разложить на множители: = = .

Пример 3. Найти: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

Р е ш е н и е: а) Имеем неопределенность вида . Учитывая, что поведение числителя и знаменателя при определяется членами с наибольшими показателями степеней (соответственно и ), разделим числитель и знаменатель на , т.е. на х с наибольшим показателем степени числителя и знаменателя. Используя теоремы о пределах, получим:

.

б) Используя тот же прием, что и в п.а), можно показать, что

= = , т.е. предел отношения двух многочленов равен 0, отношению коэффициентов при старших степенях х или , если показатель степени числителя и соответственно меньше, равен или больше показателя степени знаменателя m.

Рекомендуем запомнить это правило.

в) Имеем неопределенность вида . Здесь выражению в числителе условно можно приписать степень , а в знаменателе степень m =2; т.к. , то на основании правила, сформулированного в п.б), искомый предел равен .

Действительно, разделив и числитель и знаменатель на , получим:

= = .

г) При имеем неопределенность вида , при этом поведение числителя и знаменателя определяется вторыми слагаемыми, которые возрастают быстрее первых. Разделив числитель и знаменатель на и используя теоремы о пределах, получим:

, поскольку .

При имеем неопределенность вида , при этом поведение числителя и знаменателя определяется первыми слагаемыми, которые убывают медленнее других. Разделив числитель и знаменатель на и используя теоремы о пределах, получим:

.

д) Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель на x, получим

так как

Пример 4. Найти:

а)

б)

в)

Решение: а) Для раскрытия неопределенности вида умножим и разделим выражение в скобках на сопряжение выражение, получим

б) При имеем неопределенность вида , ибо квадратный корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен.

Обращаем внимание на то, что при x → в знаменателе нет неопределенности, так как он представляет сумму бесконечно больших положительных величин – величину, бесконечно большую.

в)

Пример 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Пример 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Пример 7. Вычислить пределы функций.

Пример 8. Вычислить пределы функций.

Пример 9. Вычислить пределы функций.

Пример 10. Вычислить пределы функций.

Пример 11. Вычислить пределы функций.

Пример 12. Вычислить пределы функций.

Пример 13. Вычислить пределы функций.

Пример 14. Вычислить пределы функций.

Упражнения и задания для самостоятельной работы

Теоретические вопросы