Рассмотрим основные свойства функций.

1. Четность и нечетность. функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-х)=f(x) и нечетной, если f(-х)=-f(х). В противном случае функция у =f(х) называется функцией общего вида.

Например, функция у=х² является четной (так как f(-х)=(-х)² =x² и f(-х)=f(х), а функция у = х³ - нечетной (так как f(-х)=(-х)³ =-х³ и f(-х)=-f(x)

В то же время, например, функция у = х² + х³ является функцией общего вида, так как f(-х)= (-х)² + (-х)³ = х² -х³ f(-х) f(х) и f(-х) -f(х).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции у=х² на рис.1.), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции у=х³ на рис.2.)

 

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Монотонность. Функция f=f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему (меньшему) значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть х₁, х₂? Х и х₂> х₁. Тогда функция возрастает на промежутке Х, если Х, если

f(х₂) >f(х₁), и убывает, если f(х₂) <f(х₁) (см. рис. 3).

Рисунок 3.

Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

3. Ограниченность. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число M>0, что для любого х? Х. В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция у=sinх ограничена на всей числовой оси, так как либо для любого х? R.

4. Периодичность. Функция у=f(х) называется периодической с периодом Т≠0, если для любых х из области определения функции f(х +Т)=f(х).

Например, функция у=sinх имеет период Т=2π, так как для любых х sin(х+2π)=sinx

 

Решение типовых заданий

Пример 1. Найти область определения функций

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Область определения функции X найдем

из системы неравенств откуда или .

б) Имеем систему . Решая первое неравенство,

получим ; решая второе, найдем , откуда и . С помощью числовой оси (рис.4) находим решение системы неравенств: ,т.е. область определения функции .

 

Рисунок 4

 

в) Область определения найдем из неравенства , откуда . Так как при любом , то перейдем к равносильному неравенству , откуда

, или

Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом , т.е. область определения функции .

Пример 2. Найти область значений функций:

Решение. Преобразуем функцию

Так как синус любого угла по абсолютной величине не превосходит 1, т.е. , то , ,

Итак, область значений функции

Пример 3. Выяснить четность (нечетность) функций:

а)

б)

в)

решение:

а) Так как , то данная функция четная;

б) (после преобразований).

Так как , то данная функция четная.

в)

Так как и , то данная функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.

 

 

Упражнения и задания для самостоятельной работы

Теоретические вопросы

1. Что такое функция?

2. Какие существуют способы задания функций?

3. Какую функцию называют периодической? Что такое период функции?

4. Какая функция называется четной? нечетной?

5. Какая функция называется монотонной.

Задание 1. Найти область определения функции.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание 2. Найти область значения функции.

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

Задание 3. Выяснить четность (нечетность) функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ;

8.

9. .

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

Задание 4. Построить графики функции:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

II. Предел функции.