В результате получаем общее решение системы

.

Одно базисное решение получаем при x₄=x₅=0, т.е. x₁=3,5; x₂=0,5; x₃=3 или X₁=(3,5; 0,5; 3; 0; 0).

Чтобы получить другое базисное решение, достаточно задать x₄=1; x₅=0, тогда x₁=6; x₂=1; x₃=2 или X₂=(6; 1; 2; 1; 0).

Пример 7. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Решение:

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t - параметр.

 

Для корня l₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t - параметр.

 

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

 

Пример 8. Дано комплексное число z. Требуется:

1. записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;

2. найти все корни уравнения .

.

Решение:

1) Комплексное число z в алгебраической форме имеет вид: z=а+bi;

в тригонометрической форме: z=r(cosj+i×sinj), где и .

Для тог чтобы записать в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю, т. е. на 1- i.

.

- алгебраическая форма.

, , ,

.

- тригонометрическая форма.

2) Þ .

Так как число в тригонометрической форме

Þ

.

Применяя формулу для извлечения корня из комплексного числа:

,

получаем

Если k=0, то ;

Если k=1, то ;

Если k=2, то .

Следовательно, корни уравнения в алгебраической форме имеет вид

Ответ:

,

,

.

Пример 9. Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x₁¢¢, x₂¢¢, x₃¢¢ через x₁, x₂, x₃.

Решение: Первое преобразование определяется матрицей A, а второе ¾ матрицей B, где

Искомое преобразование является произведением данных преобразований с матрицей

 

Перемножив матрицы B и A, получим матрицу

Следовательно, искомое преобразование таково:

Пример 10. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ;

Функция не определена при х=5 и поэтому разрывна в этой точке. Числитель и знаменатель в точке х=5 обращается в нуль, налицо неопределенность . Выделим общий множитель (х-5) и сократим на него числитель и знаменатель, считая х ¹ 5, х ® 5.

.

б) ;

Ни числитель, ни знаменатель этой дроби не имеют конечного предела так как они неограниченно возрастают при неограниченном возрастании х, т. е. имеем дело с неопределенностью . Поделим числитель и знаменатель дроби на х²:

так как , , , при х ® ¥ – величины бесконечно малые.

в) ;

Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при х=0, то имеем дело с неопределенностью вида .

Воспользуемся тригонометрической формулой для преобразования знаменателя 2sin²x=1-cos2x и получим предел, в котором участвует тригонометрическая функция sinx.

Применив первый замечательный предел , получаем:

,

так как при х ® 0.

г) .

Предел функции при х ® 0 равен единице, т.е. в данном примере требуется раскрыть неопределенность . Примеры такого вида сводятся ко второму замечательному пределу .

Преобразуем выражение в скобках к виду

.

Тогда

,

т. к. , .

 

Пример 11. Задана функция y=f (x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

 

Решение:

Область определения функции – вся числовая ось (-¥;+¥). В интервале (-¥;0] функция непрерывна, так как это линейная функция f (x)=- х. В интервале (0;2] эта функция непрерывна, так как это степенная функция f (x)=- х² и ее графиком является парабола. В интервале (2;+¥) функция непрерывна, так как это линейная функция f (x)= х+1. Внимание надо обратить на точки х=0 и х=2, так называемые точки стыка.

Найдем предел f (x) в точке х=0 слева и справа и сравним их. Слева от точки х=0 функция задана формулой f (x) =-х, а справа - f (x) =-х², тогда

Так как , то точка x=0 является точкой непрерывности функции.

2. Аналогично исследуем на непрерывность функцию в точке x=2.

Так как эти пределы различны , функция в точке x=2 терпит разрыв первого рода.

Построим график.

 

Пример 12.

а) Найти производную функции .

Решение:

Сначала преобразуем данную функцию:

б) Найти производную функции .

Решение:

 

в) Найти производную функции .

Решение:

 

 

г) Найти производную функции .

Решение:

Логарифмируем данную функцию

,

,

Дифференцируем

,

,

Выражаем

.

Или

.

 

д) Найти производную

Решение:

Функция задана неявно, тогда дифференцируя, получаем:

Группируя слагаемые с , получаем:

Окончательно получаем:

.

Пример 13. Исследовать функцию и построить график.

Решение.

1. Данная функция не определена при , т. к. в этой точке знаменатель обращается в ноль. Значит

.

2. , . Следовательно, функция общего вида.

3. Не периодична.

4. Точки пересечения с осью Ох: при , . С осью Оу: ,

. Нашли две точки пересечения графика функции с осями координат: и .

5. Исследуем на непрерывность. Точкой разрыва является . Определим тип разрыва. Для этого найдем односторонние пределы функции в данной точке.

и .

Значит, - точка разрыва второго рода.

6. Из предыдущего пункта следует, что - вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту .

. .

Итак, - наклонная асимптота.

7. Исследуем на возрастание, убывание и экстремум функции. Для этого найдем производную функции.

.

Найдем точки, в которых производная равна нулю .

и .

Далее отметим данные точки на числовой оси и к ним добавляем точку , в которой не определена.

Находим интервалы, на которых : и

: .

При прохождении точки производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, - точка экстремума функции, а именно максимум.

.

При прохождении точки производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, так же является точкой экстремума функции, а именно минимумом.

.

8. Исследуем на вогнутость функции и точки перегиба. Для этого находим производную второго порядка.

.

Вторая производная в ноль никогда не обращается, поэтому на числовой оси отмечаем только .

: - функция вогнута и : - выпукла. Точек перегиба нет.

Составим таблицу, в которую занесем полученные сведения.

х		-1
	+		-	не сущ.	-		+
	-		-	не сущ.	+		+
у				верт. ас.

После того, как собрали все данные, полученные в ходе исследования, изобразим характерное поведение графика данной функции. (См. рис.).