Дифференцирование неявных и параметрических заданных функций.

Логарифмическое дифференцирование.

Литература. [2], Гл. III, § 11-12, 16, 18; [3], Гл. V, § 5-3 задачи 206-211.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 21, 22; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.58., 7.1.65., 7.1. 72.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 768-770, 896-897, 908.

Производная высших порядков.

Литература. [2], Гл. III, § 22; [3], Гл. V, § 4 задачи 162-191.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 23; [7], Гл. VII, § 1, задачи 7.1.83.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 945-949.

Дифференциал функции.

Литература. [2], Гл. III, § 20, 23; [3], Гл. V, § 3-4 задачи 146-161, 198-205.

Можно использовать также [6], Гл. V, § 24; [7], Гл. VII, § 2, задачи 7.2.1., 7.2.9., 7.2.13.; [5], Гл. VII, § 1 задачи 975-981; [3], Гл. V, § 3, 4., разобрать примеры 1-2, 3.

 

При вычислении производных используется таблица производных элементарных функций, применяются правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций, а также правило дифференцирования сложной функции.

 

Примеры решения типовых задач

 

№ 8. Найти производную указанного порядка:

 

1)

= ;

;

 

2) Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически.

_{х х} =

Найдем первую производную _х: _х =

_t = 2 t, _t = 3 t ², _х = .

 

Найдем вторую производную _{х х} : _{х х} =

_{х х} = = .

 

Задания контрольной работы № 1

 

1 - 25. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂; 2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄; 3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃; 4) площадь грани А₁ А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁ А₂; 7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

 

1. А₁ (-1; 2; 1), А₂ (-2; 2; 5), А₃ (-3; 3; 1), А₄ (-1; 4; 3).

2. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

3. А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0).

4. А₁ (4; 4; 10), А₂ (-4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

5. А₁ (-2; 1; -1), А₂ (-3; 1; 3), А₃ (-4; 2; -1), А₄ (-2; 3; 1).

6. А₁ (1; 1; 2), А₂ (0; 1; 6), А₃ (-1; 2; 2), А₄ (1; 3; 4).

7. А₁ (-1; -2; 1), А₂ (-2; -2; 5), А₃ (-3; -1; 1), А₄ (-1; 0; 3).

8. А₁ (2; -1; 1), А₂ (1; -1; 5), А₃ (0; 0; 1), А₄ (2; 1; 3).

9. А₁ (-1; 1; -2), А₂ (-2; 1; 2), А₃ (-3; 2; -2), А₄ (-1; 3; 0).

10. А₁ (4; 6; 5), А₂ (6; 9; 4), А₃ (2; 10; 10), А₄ (7; 5; 9).

11. А₁ (3; 5; 4), А₂ (8; 7; 4), А₃ (5; 10; 4), А₄ (4; 7; 8).

12. А₁ (10; 6; 6), А₂ (-2; 8; 2), А₃ (6; 8; 9), А₄ (7; 10; 3).

13. А₁ (1; 8; 2), А₂ (5; 2; 6), А₃ (5; 7; 4), А₄ (4; 10; 9).

14. А₁ (6; 6; 5), А₂ (4; 9; 5), А₃ (4; 6; 11), А₄ (6; 9; 3).

15. А₁ (7; 2; 2), А₂ (5; 7; 7), А₃ (5; 3; 1), А₄ (2; 3; 7).

16. А₁ (8; 6; 4), А₂ (10; 5; 5), А₃ (5; 6; 8), А₄ (8; 10; 7).

17. А₁ (1; 2; 1), А₂ (0; 2; 5), А₃ (-1; 3; 1), А₄ (1; 4; 3).

18. А₁ (-2; -1; 1), А₂ (-3; -1; 5), А₃ (-4; 0; 1), А₄ (-2; 1; 3).

19. А₁ (1; -1; 2), А₂ (0; -1; 6), А₃ (-1; 0; 2), А₄ (1; 1; 4).

20. А₁ (1; -2; 1), А₂ (0; -2; 5), А₃ (-1; -1; 1), А₄ (1; 0; 3).

21. А₁ (0; 3; 2), А₂ (-1; 3; 6), А₃ (-2; 4; 2), А₄ (0; 5; 4).

22. А₁ (-1; 2; 0), А₂ (-2; 2; 4), А₃ (-3; 3; 0), А₄ (-1; 4; 2).

23. А₁ (2; 2; 3), А₂ (1; 2; 7), А₃ (0; 3; 3), А₄ (2; 4; 5).

24. А₁ (0; -1; 2), А₂ (-1; -1; 6), А₃ (-2; 0; 2), А₄ (0; 1; 4).

25. А₁ (3; 0; 2), А₂ (2; 0; 6), А₃ (1; 1; 2), А₄ (3; 2; 4).

26 –50. Решить задачу.

 

26. Даны уравнения одной из сторон ромба х – 3 у + 10 = 0 и одной из его диагоналей х + 4 у – 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0; 1). Найти уравнения остальных сторон ромба.

 

27. Найдите точку, равноудаленную от трех данных точек: А (2; 2), В (-5; 1), С (3; -5). Составить уравнение ВС.

 

28. Дан треугольник АВС с вершинами А (-4; -5), В (8; 1) и С (2; -8). Найдите точку пересечения биссектрисы угла А с противолежащей стороной, вычислите ее длину, составьте ее уравнение.

 

29. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку (2/3; 8/3) и точку пересечения прямых 3 х - 5 у – 11 = 0 и 4 х + у – 7 = 0.

 

30. Даны вершины А (-3; -2), В (4; -1), С (1; 3) трапеции АВСД (АД || ВС). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины Д этой трапеции.

 

31. Дан треугольник АВС с вершинами А (5; 3), В (-1; 3), С (2; 0). Из точки Д, делящей сторону ВС в отношении | ВД |: | ДС | = 2: 1, проведена прямая через середину Е стороны АВ. Найдите уравнение и длину ДЕ.

 

32. Даны уравнения двух высот треугольника х + у = 4 и у = 2 х и одна из его вершин А (0; 2). Составить уравнения сторон треугольника.

 

33. До какой точки надо продолжить отрезок АВ из точки А (-2; -3) в точку В (2; 3), чтобы | АВ |: | ВС | = 1: 3? Составьте уравнение перпендикуляра, восстановленного из точки С.

 

34. Докажите, что средняя линия треугольника АВС с вершинами А (2; 4), В (-1; -2), С (6; -1) параллельна стороне ВС. Составьте уравнение и найдите ее длину.

 

35. Определить координаты вершин треугольника, если известны уравнения его сторон: 2 х - у – 3 = 0, 2 х + 3 у + 13 = 0, х - 2 у + 3=0. Найдите внутренний угол АВС в треугольнике.

 

36. Дан треугольник АВС с вершинами А (-5; 4), В (4; -3), С (-2; -6). Найти расстояние от вершины А до стороны ВС.

 

37. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3 х - 2 у – 12 = 0 и х + 2 у + 4 = 0 и перпендикулярно прямой 2 х - 3 у + 6 = 0.

 

38. Известны уравнения двух сторон ромба 2 х + у = 4 и 2 х + у = 10 и уравнение одной из его диагоналей х - у - 2 = 0. Найти уравнения остальных сторон ромба.

 

39. Дан треугольник АВС с вершинами А (3; 4), В (-3; -4), С (-9; 13). Доказать, что треугольник АВС прямоугольный, вычислить длину высоты АД.

 

40. Даны две вершины треугольника АВС: А (2; - 3) и В (5; 1), уравнение стороны ВС: у - 1 = 0 и медианы АМ: 2 х – у - 7 = 0. Составить уравнения остальных сторон треугольника и уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ.

 

41. Даны две точки В (3; 1) и С (-5; 5). Найти расстояние от середины отрезка ВС до прямой 2 х - 3 у - 6 = 0.

 

42. Дано: уравнение прямой х + 2 у - 4 = 0 и точка А (-2; -3). Найти длину отрезка АС и составить уравнение прямой, проходящей через точки А и С, где точка С – середина отрезка прямой, заключенного между осями координат.

 

43. Уравнения двух сторон параллелограмма х + 2 у + 2 = 0 и х + у + 4 = 0, а уравнение одной из его диагоналей х – 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма.

 

44. Даны две вершины треугольника АВС: А (-10; 2) и В (6; 4), его высоты пересекаются в точке N (5; 2). Определить координаты третьей вершины С.

 

45. Даны три точки А (5; 2), В (2; 1), С (6; 4). Найти угол между прямыми АВ и АС.

46. В треугольнике АВС даны уравнение стороны АВ: 5 х – 3 у + 2 = 0, уравнения высот АN: 4 х – 3 у + 1 = 0 и ВМ: 7 х + 2 у - 22 = 0. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

 

47. Даны две вершины А (2; -2) и В (3; -1) и точка Р (1; 0) пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

 

48. Дан треугольник АВС с вершинами А (-3; 2), В (2; 3), С (4; -2). Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника, параллельно прямой 2 х - 3 у - 6 = 0.

 

49. Даны три последовательные вершины параллелограмма А (1; -2), В (3; 2), С (6; 4).Найти координаты четвертой вершины Д и уравнение стороны АВ.

 

50. Вычислите угол между прямыми х - у + 2 = 0 и х + у - 2 = 0.

 

 

51 – 75. Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже, охарактеризовав кривые.

 

51.

 

52.

 

53. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (-1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х = - 4.

 

54.

 

55.

 

56. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки А (5; 0) относятся, как 2: 1

 

57.

58.

 

59. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А (2; 0) и от прямой 5 х + 6 = 0относятся, как 5: 4.

 

60.

 

61.

 

62. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А (4; 0), чем от точки Е (1; 0).

63.

 

64.

 

65. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А (2; 0) и от прямой 2 х + 5 = 0относятся, как 4:5.

 

66.

 

67.

 

68. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А (3; 0) вдвое меньше расстояния от точки В (28; 0).

 

69.

 

70.

 

71. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А (0; 2) и от прямой у - 4 = 0.

 

72.

 

73.

 

74. Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А (-4; 0) втрое дальше, чем от начала координат.

 

75.

 

 

76 – 100. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.

 

76. 77.

 

78. 79.

 

80. 81.

 

82. 83.

 

84. 85.

 

86. 87.

 

88. 89.

 

90. 91.

 

92. 93.

 

94. 95.

96. 97.

 

98. 99.

 

100.

 

 

101 – 125. Найти матрицу обратную матрице: .

Сделать проверку.

 

101. 102.

 

103. 104.

 

105. 106.

 

107. 108.

 

109. 110.

 

111. 112.

 

113. 114.

 

115. 116.

 

117. 118.

 

119. 120.

 

121. 122.

 

123. 124.

 

125.

 

 

126 – 150. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

 

126. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

127. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

128. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

129. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

130. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

131. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

132. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

133. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

134. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

135. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

136. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

137. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

138. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

139. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

140. а) ; б)

в) ; г) .

 

141. а) ; б)

в) ; г) .

 

142. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

143. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

144. а) б) ;

в) ; г) .

 

145. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

 

146. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

 

147. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

 

148. а) ; б) ;

в) ; г) ;

 

 

149. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

 

150. а) ; б) ;

в) ; г) .

 

 

151 – 175. Задана функция у = f (x):

 

1) Исследовать функцию на непрерывность на всей числовой оси.

2) Найти и классифицировать точки разрыва, если они существуют.

3) Построить график функции.

 

151. f (x) = 152. f (x) =

 

153. f (x) = 154. f (x) =

 

155. f (x) = 156. f (x) =

 

157. f (x) = 158. f (x) =

 

159. f (x) = 160. f (x) =

 

161. f (x) = 162. f (x) =

 

163. f (x) = 164. f (x) =

 

165. f (x) = 166. f (x) =

 

167. f (x) = 168. f (x) =

 

169. f (x) = 170. f (x) =

 

171. f (x) = 172. f (x) =

173. f (x) = 174. f (x) =

 

175. f (x) =

 

 

176 – 200. Найти и для заданных функций:

а) ; б) , .

 

176. а) ; б) , .

 

177. а) ; б) , .

 

178. а) ; б) , .

 

179. а) ; б) , .

 

180. а) ; б) , .

 

181. а) ; б) , .

 

182. а) ; б) , .

 

183. а) ; б) , .

 

184. а) ; б) , .

 

185. а) ; б) , .

 

186. а) ; б) , .

 

187. а) ; б) , .

 

188. а) ; б) , .

 

189. а) ; б) , .

 

190. а) ; б) , .

 

191. а) ; б) , .

 

192. а) ; б) , .

193. а) ; б) , .

 

194. а) ; б) , .

 

195. а) ; б) , .

 

196. а) ; б) , .

 

197. а) ; б) , .

 

198. а) ; б) , .

 

199. а) ; б) , .

 

200. а) ; б) , .

 

Основные формулы

1. | | = - модуль вектора

 

2. Формулы деления отрезка в данном отношении:

, , где - отношение .

 

3. Линейные операции над векторами в координатной форме:

= (a_x, а_у, а_z) и = (b_x; b_у; b_z)

 

· = (a_x b_x; а_у b_у; а_z b_z).

 

· = ( a_x; а_у ; а_z).

 

· =

 

· коллинеарность векторов: = .

4. Формула скалярного произведения = | | * | | cos (, ), где φ = ()

 

5. Скалярное произведение в координатной форме = a_xb_x + а_уb_у + а_zb_z.

6. Формула для нахождения угла между векторами cos (, ) =

 

7. Векторное произведение в координатной форме

 

=

8. || = (и наоборот), т.е. = =

= =

9. S_пар. = | |, S_тр. = | |.

10. Смешанное произведения векторов в координатной форме

 

=

11. = 0 = 0 векторы , , компланарны.

 

12. Объем параллелепипеда: V = | |.

 

Объем треугольной пирамиды: V = | |.

13. Ах + By + С = 0 - общее уравнение прямой, где А, В, С – произвольные числа.

 

14. Уравнение прямой, проходящей через данную точку м_о (х_о; у_о)с направляющим вектором (с; d)

 

15. Уравнение прямой, проходящей через две точки М₁ (x₁; y₁)и М₂ (x₂; y₂)

 

 

16. А (х - х₀) + В (у – у₀) = 0 - уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору, где (А; В)координаты нормального вектора прямой, (х₀; у₀) координаты текущей точки,а х и у переменные.

 

17. Формула для нахождения расстояния от точки (х ₁; у ₁) до прямой Ах + By + С = 0: .

 

18. (х + х ₀)² + (у + у ₀)² = r ²– каноническое уравнение окружности с центром в точке (х ₀; у ₀), радиусом r.

19. - каноническим уравнением эллипса.

 

20. - каноническое уравнение гиперболы.

21. Канонические уравнения парабол: у² = 2рх, у² = —2рх, х² = 2ру,

х² = —2ру (р > 0)

 

22. Основные теоремы о пределах:

· f(х) = А, то он единственный.

· (f(х) ± g(x)) = f(х) ± g(x) = А ± В

· (f(х) * g(x)) = f(х) * g(x) = А * В

· С f(х) = С f(х)

· (f(х)) ⁿ = ( f(х)) ⁿ =