Указания к выполнению контрольной работы 1

 

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

 

Матрицы, операции над ними. Определители

Литература. [1], Гл. X, § 1, 2.; [3], Гл. VII, § 1 разобрать пример № 1.

Можно использовать также [6], Гл. I, § 1-3.; [7], Гл. I, § 1, 2 задачи 1.1.1., 1.1.5., 1.2.13., 1.4.1.; [5], Гл. IV, § 2 задачи 400-403.

Системы линейных уравнений. Правило Крамера

Литература. [1], Гл. X, § 3, 4.; [3], Гл. VII, § 2 разобрать примеры № 1-2.

Можно использовать также [6], Гл. I, § 4.; [7], Гл. II, § 1-3 задачи 2.1.2., 2.2.2.

Векторы

Литература. [1], Гл. III, § 1-4, Гл. IX, § 1-5.; [3], Гл. III, § 1-4 задачи 1-5, 16-18, 22-24, 38-40, 42-47; Гл. X, § 1-3 задачи 6-14, 22-33.

Можно использовать также [6], Гл. II, § 5.; [7], Гл. III, § 1 задачи 3.1.1., 3.1.13.-3.1.20.

Скалярное произведение векторов

Литература. [1], Гл. IX, § 6.; [3], Гл. X, § 4 задачи 41-51.

Можно использовать также [6], Гл. II, § 6.; [7], Гл. III, § 2 задачи 3.2.1., 3.2.4., 3.2.8.

Векторное произведение векторов

Литература. [1], Гл. IX, § 7.; [3], Гл. X, § 5 задачи 63-73.

Можно использовать также [6], Гл. II, § 7.; [7], Гл. III, § 3 задачи 3.3.1., 3.3.5., 3.3.9.

Смешанное произведение векторов

Литература. [1], Гл. IX, § 8.; [3], Гл. X, § 6 задачи 83-88, 98-100.

Можно использовать также [6], Гл. II, § 8.; [7], Гл. III, § 4 задачи 3.4.1., 3.4.4.

 

Линии на плоскости и в пространстве

Литература. [1], Гл. III, § 5-6, Гл. IX, § 9-13.; [3], Гл. III, § 5-7 задачи 52-54, 59-67, 68-85; Гл. X, § 7-9 задачи 101-103, 114-122,130-138, 153-162, 165-168, 172-181.

Можно использовать также [6], Гл. III, § 10.; [7], Гл. IV, § 1-2 задачи 4.2.1., 4.2.6., 4.2.8., 4.2.57., 4.2.67., 4.2.68.

Линии второго порядка

Литература. [1], Гл. III, § 7-8, Гл. IX, § 9-14.; [3], Гл. III, § 8 задачи 126-132, 139-147, 150-155.; Гл. X, § 10 задачи 166-171.

Можно использовать также [6], Гл. III, § 11.; [7], Гл. IV, § 3 задачи 4.3.1., 4.3.28., 4.3.31., 4.3.60., 4.3.64., 4.3.105, 4.3.106.

Уравнения поверхности и линии в пространстве

Литература. [4], Гл. III, § 3.1-3.4; [4], Гл. III, § 3.1-3.4 задачи 1-28;[6], Гл. IV, § 12.; [7], Гл. V, § 1-5 задачи 5.1.1., 5.1.29., 5.2.6., 5.2.7., 5.2.12., 5.2.41, 5.3.1., 5.3.5., 5.3.7., 5.3.25., 5.4.3., 5.4.8., 5.5.1., 5.5.4., 5.5.14., 5.5.15., 5.5.17.

 

Примеры решения типовых задач

№ 1. Даны координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

А₁ (0; 2; - 2), А₂ (1; 0; - 1), А₃ (0; 5; - 1), А₄ (0; 2; 1).

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂; 2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄; 3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃; 4) площадь грани А₁ А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁ А₂; 7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

Решение

1. Найти длину ребра А₁ А₂.

(ед)

2. Найти угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄.

, отсюда

,

где и .

и ,

, значит .

3. Найти угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃.

Угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃ вычисляется по формуле: , где направляющий вектор прямой А₁ А₄, а - нормальный вектор плоскости (А₁ А₂ А₃). .

Составим уравнение плоскости (А₁ А₂ А₃).

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки

А₁ (0; 2; -2), А₂ (1; 0₁; -1) и А₃ (0; 5; -1) имеет вид:

; ;

;

;

;

(умножим на - 1);

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- нормальный вектор плоскости А₁ А₂ А₃.

,

отсюда .

4. Найти площадь грани А₁ А₂ А_3.

Найдем векторное произведение векторов и .

S _{параллелограмма} ,

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е. S _{треугольника} = (ед ²).

5. Найти объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, т.е.

,

, и .

6. Составить уравнение прямой А₁ А_2.

- направляющий вектор прямой , точка лежит на прямой. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

7. Составить уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

(Решение см. в пункте 3).

8. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- нормаль плоскости А₁ А₂ А₃. Высота опущенная из вершины А₄ (0; 2; 1) на грань А₁ А₂ А₃ перпендикулярна к ней.

(А₁ А₂ А₃) и высота А₄H (А₁ А₂ А₃), следовательно ||(А₄H). Вектор является направляющим вектором высоты А₄H. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

z

 

 

А₄

0 y

А₂ А₃

x

А₁

 

№ 2.

а) Дан треугольник АВС с вершинами А (-5; 4), В (3; -2), С (-8; -5). Составить уравнение медианы СК и высоты АН.

 

Решение

1) А (х - х₀) + В (у – у₀) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой СК, (х₀; у₀) – координаты точки С (-8; -5).

Найдем координаты точки К.

; ; К (-1;1); = (7; 6); нормальный вектор прямой СК имеет координаты (6; -7).

6(х + 8)- 7(у + 5) = 0

6 х - 7 у + 13 = 0 - уравнение медианы СК.

 

2) А (х - х₀) + В (у – у₀) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой АН, (х₀; у₀) – координаты точки А (-5; 4).

Нормальным вектором прямой АН является вектор = (11; 3).

11(х + 5)+ 3(у - 4) = 0

11 х + 3 у + 43 = 0 - уравнение высоты АН.

 

у

 

А (-5; 4)

 

К

 

х

В (3; -2)

 

Н

С (-8; -5).

 

б) Даны две последовательные вершины параллелограмма А (- 5; 3) и В (2; 7), точка пересечения его диагоналей К (- 1; 2). Найти остальные вершины параллелограмма.

Решение 7 В

 

 

А 3

К

С х

- 5 - 4 - 1 3

 

 

Д - 3

 

Для нахождения координат точки С воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

, , где - отношение , = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

и .

, . С (3; 1).

 

Для нахождения координат точки Д воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

, , где - отношение , = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

и .

, . Д (- 4; - 3).

 

№ 3. Установить, какая линия определяется данным уравнением. Изобразить данную линию на чертеже, охарактеризовав ее.

а) х ² + у ² + 6 х +10 у – 15 = 0.

Преобразуем данное уравнение:

х ² + 6 х + 9 + у ² + 10 у – 9 – 25 - 15 = 0;

(х +3)² + (у + 5)² - 49 = 0 – уравнение окружности с центром в точке (- 3; - 5), радиусом 7.

у

 

 

х

 

О (- 3; - 5)

 

б) 9 х ² + 16 у ² = 144.

Разделим обе части уравнения на 144:

(каноническое уравнение эллипса ), а ² = 16, b ² = 9, значит, а = 4, b = 3.

Координаты вершин эллипса: А _1,2 ( а; 0), В _1,2 (0; b)

А _1,2 ( 4; 0), В _1,2 (0; 3); а > b.

Большая ось эллипса | А ₁ А ₂| = 2 а = 8, малая ось эллипса | В ₁ В ₂| = 2 b = 6.

Определим координаты фокусов (фокусы эллипса находятся на большой оси), для этого воспользуемся формулой с ² = а ² - b ²;

.

Координаты фокусов: F _1,2 ( с; 0)

F _1,2 ( ; 0).

Эксцентриситет эллипса (для случая b > а, ).

Построим график эллипса у

В ₁ 3

 

 

А ₂ F ₂ F ₁ А ₁

 

- 4 - 4 х

 

- 3

В ₂

в) 25 х ² - 9 у ² - 100 х – 54 у – 206 = 0.

Преобразуем данное уравнение:

 

(25 х ² - 100 х)– (9 у ² + 54 у) – 206 = 0;

25(х ² - 4 х)– 9(у ² + 6 у) – 206 = 0;

25(х ² - 4 х + 4)– 100 – 9(у ² + 6 у + 9) + 81 –206 = 0;

25(х – 2)² – 100 – 9(у + 3)² + 81 – 206 = 0;

25(х – 2)² – 9(у + 3)² – 225 = 0;

25(х – 2)² – 9(у + 3)² = 225;

– каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром .

а ² = 9, b ² = 25, значит, а = 3, b = 5. Центр гиперболы находится в точке (2; - 3)

Координаты вершин гиперболы:

действительные вершины: А ₁ (5; - 3), А ₂ (- 1; - 3),

мнимые вершины: В ₁ (2; 2), В ₂ (2; - 8).

Действительная ось гиперболы | А ₁ А ₂| = 2 а = 6, мнимая ось гиперболы | В ₁ В ₂| = 2 b = 10.

Определим координаты фокусов (фокусы гиперболы находятся на действительной оси), для этого воспользуемся формулой с ² = а ² + b ²;

.

Координаты фокусов: F ₁ (5 + ; - 3), F ₂ (2 - ; - 3).

Эксцентриситет эллипса (для случая , ). у

Построим график гиперболы

В ₁

 

- 3 - 1 2 х

F ₂ А ₂ А ₁ F ₁

 

- 8 В ₂

г) х = 1 - .

Преобразуем данное уравнение:

х - 1 = - ;

(х – 1)² = (- )²;

;

- общее уравнение параболы, с вершиной в точке (1; 3), направлением ветвей вниз, с осью симметрии х = 1.

Построим график параболы:

 

№ 4. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.

Метод Крамера.

 

;

1. Найдем определитель данной системы: .

2. Найдем определители , где получен из путём замены первого столбца на столбец свободных членов, остальные определители находятся аналогично.

, , .

3. Находим значения неизвестных :

4. Делаем проверку:

; ; .

Ответ:

Метод Гаусса.

Составим матрицу из коэффициентов перед неизвестными переменными и свободных членов.

 

Приведем матрицу к треугольному виду. Поменяем в матрице первую и вторую строки, для того, чтобы на первом месте была единица.

~

зафиксируем первую строку, домножим ее на «-2», суммируя результат со второй строкой; результат записать на место второй строки;

домножим ее на «-3», суммируя результат с третьей строкой; результат записать на место третьей.

~ ~ поменяем вторую и третью строки местами

 

~ ~ разделим вторую строку на 3, а третью на «-5»

~ получаем систему

,

Ответ:

 

№ 5. Найти обратную матрицу, выполнить проверку:

Пусть дана матрица

1) Вычисляем определитель матрицы А:

2) Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

 

3) Записываем обратную матрицу:

4) Выполнить проверку: .

 

=

= =

= =

Ответ: .

 

Тема 2. Введение в математический анализ