Худякова С.А., Бараховская О.В.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и варианты контрольной работы № 1

для слушателей факультета заочного обучения

по специальности 280104.65 – Пожарная безопасность

1 год обучения

 

Екатеринбург

 

 

Худякова С.А., Бараховская О.В.

Высшая математика: Методические указания и варианты контрольной работы № 1 для слушателей факультета заочного обучения по специальности 280104.65 – Пожарная безопасность. 1 год обучения. – Екатеринбург: ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ», 2007. – 48 с.

 

Методические указания предназначены слушателям заочного обучения по специальности 280104.65 – Пожарная безопасность для выполнения контрольной работы № 1 по высшей математике.

 

Одобрено на заседании Методического совета ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ».

 

Протокол № 4 от 15 ноября 2007г.

 

 

© Худякова С.А., 2007

© Бараховская О.В., 2007

 

© УрИ ГПС МЧС России, 2007

 

Содержание

 

Вступление. 4

Литература. 5

Выполнение и оформление контрольных работ. 5

Варианты контрольной работы.. 6

Указания к выполнению контрольной работы 1. 7

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 7

Примеры решения типовых задач. 8

Тема 2. Введение в математический анализ 19

Примеры решения типовых задач. 20

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. 25

Примеры решения типовых задач. 26

Задания контрольной работы № 1. 27

Основные формулы.. 43

 

Вступление

 

 

Данные методические рекомендации составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине высшая математика и предназначены для слушателей I курса факультета заочного обучения по специальности 280104.65 – Пожарная безопасность. Они содержат краткие теоретические сведения по основным разделам курса и подробное решение типовых задач для самостоятельной подготовки к выполнению контрольной работы № 1.

В процессе изучения дисциплины высшая математика слушатели 1 курса факультета заочного обучения по специальности 280104.65 – Пожарная безопасность должны:

знать:

 

– основные понятия и методы высшей алгебры, аналитической геометрии;

– основные понятия и методы математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, теории функций и функционального анализа;

уметь:

 

– употреблять математическую символику при решении инженерных задач;

– решать основные задачи общей алгебры и геометрии, дискретной математики;

– решать основные задачи математического анализа;

иметь представление:

 

– об арифметическом векторном пространстве (пространство R);

– о линейном пространстве, его размерности.

Все вышеперечисленные знания, умения и навыки приобретаются слушателями в процессе самостоятельной работы и на обязательных аудиторных занятиях.

 

Контрольная работа № 1 включает в себя практические задания по темам:

 

1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии;

2. Введение в математический анализ;

3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Литература

1. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т. I: – М.: Интеграл – Пресс, 2004. – 416 с.

3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов / В.С. Шипачев. – 3-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 304 с.

4. Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов. – 2-е изд., стер. – М.: Изд. центр «Академия»; Высш. шк., 2001. – 616 с.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1999. – 304 с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2004.

7. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2004.

 

Выполнение и оформление контрольных работ

 

1. Слушатели выполняют контрольную работу в соответствии с учебным планом в сроки, установленные факультетом заочного обучения.

2. Слушатели должны выполнить один из 100 вариантов, номер, которого определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки.

3. Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клеточку, ручкой любого цвета, кроме зеленого и красного, аккуратно и разборчивым почерком, чертежи выполняются простым карандашом с использованием инструмента.

4. На титульном листе следует указать фамилию, имя, отчество, должность и звание слушателя, его адрес с указанием почтового индекса, номер зачетной книжки, номер варианта.

5. Задания в контрольных работах выполняются по порядку, согласно расположению их в варианте.

6. На заключительном листе контрольных работ следует указать список литературы, которым Вы пользовались при их выполнении.

7. Если контрольные работы выполнены с нарушением всех вышеперечисленных указаний или не полностью, то они возвращаются слушателю для доработки без проверки.

8. Если работы не зачтены, внимательно изучите все замечания рецензента. Переделайте работы в соответствии с рекомендациями рецензента.

9. Переделанные работы предоставляются на проверку вместе с незачтенными работами.

Варианты контрольной работы

№ варианта	Задания	№ варианта	Задания
	10, 50, 61, 90, 119, 148, 175, 200
	1, 26, 51,76, 101, 126, 151, 176		2, 27, 52, 77, 102, 127, 152, 177
	3, 28, 53, 78, 103, 128, 153, 178		4, 29, 54, 79, 104, 129, 154, 179
	5, 30, 55, 80, 105, 130, 155, 180		6, 31, 56, 81, 106, 131, 156, 181
	7, 32, 57, 82, 107, 132,157, 182		8, 33, 58, 83, 108, 133, 158, 183
	9, 34, 59, 84, 109, 134, 159, 184		10, 35, 60, 85, 110, 135, 160, 185
	11, 36, 61, 86, 111, 136, 161, 186		12, 37, 62, 87, 112, 137, 162, 187
	13, 38, 63, 88, 113, 138, 163, 188		14, 39, 64, 89, 114, 139, 164, 189
	15, 40, 65, 90, 115, 140, 165, 190		16, 41, 66, 91, 116, 141, 166, 191
	17, 42, 67, 92, 117, 142, 167, 192		18, 43, 68,93, 118, 143, 168, 193
	19, 44, 69, 94, 119, 144, 169, 194		20, 45, 70, 95, 120, 145, 170, 195
	21, 46, 71, 96, 121, 146, 171, 196		22, 47, 72, 97, 122, 147, 172, 197
	23, 48, 73, 98, 123, 148, 173, 198		24, 49, 74, 99, 124, 149, 174, 199
	25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200		1, 27, 53, 79, 105, 131, 151, 176
	2, 28, 54, 80, 106, 132, 152, 177		3, 29, 55, 81, 107, 133, 153, 178
	4, 30, 56, 82, 108, 134, 154, 179		5, 31, 57, 83, 109, 135, 155, 180
	6, 32, 58, 84, 110, 136, 156, 181		7, 33, 59, 85, 111, 137, 157, 182
	8,34,60, 86, 112, 138, 158, 183		9, 35, 61, 87, 113, 139, 159, 184
	10, 36, 62, 88, 114, 140, 160, 185		11, 37, 63, 89, 115, 141, 161, 186
	12, 38, 64, 90, 116, 142, 162, 187		13, 39, 65, 91, 117, 143, 163, 188
	14, 40, 66, 92, 118, 144, 164, 189		15, 41, 67, 93, 119, 145, 165, 190
	16, 42, 68, 94, 120, 146, 166, 191		17, 43, 69, 95, 121, 147, 167, 192
	18, 44, 70, 96, 122, 148, 168, 193		19, 45, 71, 97, 123, 149, 169, 194
	20, 46, 72, 98, 124, 150, 170, 195		21, 47, 73, 99, 125, 126, 171, 196
	22, 48, 74, 100, 101, 127, 172, 197		23, 49, 75, 76, 102, 128, 173, 198
	24, 50, 51, 77, 103, 129, 174, 199		25, 26, 52, 78, 104, 130, 175, 200
	1, 28, 55, 82, 109, 136, 151, 176		2, 29, 56, 83, 110, 137, 152, 177
	3, 30, 57, 84, 111, 138, 153, 178		4, 31, 58, 85, 112, 139, 154, 179
	5, 32, 59, 86, 113, 140, 155, 180		6, 33, 60, 87, 114, 141, 156, 181
	7, 34, 61, 88, 115, 142, 157, 182		8, 35, 62, 89, 116, 143, 158, 183
	9, 36, 62,90, 117, 144, 159, 184		10, 37, 63, 91, 118, 145, 160, 185
	11, 38, 64, 92, 119, 146, 161, 186		12, 39, 65, 93, 120, 147, 162, 187
	13, 40, 67, 94, 121, 148, 163, 188		14, 41, 68, 95, 122, 149, 164, 189
	15, 42, 69, 96, 123, 150, 165, 190		16, 43, 70, 97, 124, 126, 166, 191
	17, 44, 71, 98, 125, 127, 167, 192		18, 45, 72, 99, 101, 129, 168, 193
	19, 46, 73, 100, 102, 129, 169, 194		20, 47, 74, 76, 103, 130, 170, 195
	21, 48, 75, 77, 104, 131, 171, 196		22, 49, 51, 78, 105, 132, 172. 197
	23, 50, 52, 79, 106, 133, 173, 198		24, 26, 53, 80, 107, 134, 174, 199
	25, 27, 54, 81, 108, 135, 175, 200		1, 29, 57, 85, 113, 141, 151, 176
	2, 30, 58, 86, 114, 142, 152, 177		3, 31, 59, 87, 115, 143, 153, 178
	4, 32, 60, 88, 116, 144, 154, 179		5, 33, 61, 89, 117, 145, 155, 180
	6, 34, 62, 90, 118, 146, 156, 181		7, 35, 63, 91, 119, 147, 157, 182
	8, 36, 64, 92, 120, 148, 158, 183		9, 37, 65, 93, 121, 149, 159, 184
	10, 38, 66, 94, 122, 150, 160, 185		11, 39, 67, 95, 123, 126, 161, 186
	12, 40, 68, 96, 124, 127, 162, 187		13, 41, 69, 97, 125, 128, 163, 188
	14, 42, 70, 98, 101, 129, 164, 189		15, 43, 71, 99, 102, 130, 165, 190
	16, 44, 72, 100, 103, 131, 166, 191		17, 45, 73, 76, 104, 132, 167, 192
	18, 46, 74, 77, 105, 133, 168, 193		19, 47, 75, 78, 106, 134, 169, 194
	20, 48, 51, 79, 107, 135, 170, 195		21, 49, 52, 80, 108, 136, 171, 196
	22, 50, 53, 81, 109, 137, 172, 197		23, 26, 54, 82, 110, 138, 173, 198
	24, 27, 55, 83, 111, 139, 174, 199

 

 

Векторы

Литература. [1], Гл. III, § 1-4, Гл. IX, § 1-5.; [3], Гл. III, § 1-4 задачи 1-5, 16-18, 22-24, 38-40, 42-47; Гл. X, § 1-3 задачи 6-14, 22-33.

Можно использовать также [6], Гл. II, § 5.; [7], Гл. III, § 1 задачи 3.1.1., 3.1.13.-3.1.20.

Линии второго порядка

Литература. [1], Гл. III, § 7-8, Гл. IX, § 9-14.; [3], Гл. III, § 8 задачи 126-132, 139-147, 150-155.; Гл. X, § 10 задачи 166-171.

Можно использовать также [6], Гл. III, § 11.; [7], Гл. IV, § 3 задачи 4.3.1., 4.3.28., 4.3.31., 4.3.60., 4.3.64., 4.3.105, 4.3.106.

Примеры решения типовых задач

№ 1. Даны координаты вершин пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

А₁ (0; 2; - 2), А₂ (1; 0; - 1), А₃ (0; 5; - 1), А₄ (0; 2; 1).

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂; 2) угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄; 3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃; 4) площадь грани А₁ А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁ А₂; 7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

Решение

1. Найти длину ребра А₁ А₂.

(ед)

2. Найти угол между ребрами А₁ А₂ и А₁ А₄.

, отсюда

,

где и .

и ,

, значит .

3. Найти угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃.

Угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃ вычисляется по формуле: , где направляющий вектор прямой А₁ А₄, а - нормальный вектор плоскости (А₁ А₂ А₃). .

Составим уравнение плоскости (А₁ А₂ А₃).

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки

А₁ (0; 2; -2), А₂ (1; 0₁; -1) и А₃ (0; 5; -1) имеет вид:

; ;

;

;

;

(умножим на - 1);

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- нормальный вектор плоскости А₁ А₂ А₃.

,

отсюда .

4. Найти площадь грани А₁ А₂ А_3.

Найдем векторное произведение векторов и .

S _{параллелограмма} ,

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, т.е. S _{треугольника} = (ед ²).

5. Найти объем пирамиды А₁ А₂ А₃ А₄.

Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, т.е.

,

, и .

6. Составить уравнение прямой А₁ А_2.

- направляющий вектор прямой , точка лежит на прямой. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

7. Составить уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

(Решение см. в пункте 3).

8. Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

- уравнение плоскости А₁ А₂ А₃.

- нормаль плоскости А₁ А₂ А₃. Высота опущенная из вершины А₄ (0; 2; 1) на грань А₁ А₂ А₃ перпендикулярна к ней.

(А₁ А₂ А₃) и высота А₄H (А₁ А₂ А₃), следовательно ||(А₄H). Вектор является направляющим вектором высоты А₄H. Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид: , .

z

 

 

А₄

0 y

А₂ А₃

x

А₁

 

№ 2.

а) Дан треугольник АВС с вершинами А (-5; 4), В (3; -2), С (-8; -5). Составить уравнение медианы СК и высоты АН.

 

Решение

1) А (х - х₀) + В (у – у₀) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой СК, (х₀; у₀) – координаты точки С (-8; -5).

Найдем координаты точки К.

; ; К (-1;1); = (7; 6); нормальный вектор прямой СК имеет координаты (6; -7).

6(х + 8)- 7(у + 5) = 0

6 х - 7 у + 13 = 0 - уравнение медианы СК.

 

2) А (х - х₀) + В (у – у₀) = 0, где (А; В) координаты нормального вектора прямой АН, (х₀; у₀) – координаты точки А (-5; 4).

Нормальным вектором прямой АН является вектор = (11; 3).

11(х + 5)+ 3(у - 4) = 0

11 х + 3 у + 43 = 0 - уравнение высоты АН.

 

у

 

А (-5; 4)

 

К

 

х

В (3; -2)

 

Н

С (-8; -5).

 

б) Даны две последовательные вершины параллелограмма А (- 5; 3) и В (2; 7), точка пересечения его диагоналей К (- 1; 2). Найти остальные вершины параллелограмма.

Решение 7 В

 

 

А 3

К

С х

- 5 - 4 - 1 3

 

 

Д - 3

 

Для нахождения координат точки С воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

, , где - отношение , = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

и .

, . С (3; 1).

 

Для нахождения координат точки Д воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

, , где - отношение , = 1, т.к диагонали в параллелограмме пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

и .

, . Д (- 4; - 3).

 

№ 3. Установить, какая линия определяется данным уравнением. Изобразить данную линию на чертеже, охарактеризовав ее.

а) х ² + у ² + 6 х +10 у – 15 = 0.

Преобразуем данное уравнение:

х ² + 6 х + 9 + у ² + 10 у – 9 – 25 - 15 = 0;

(х +3)² + (у + 5)² - 49 = 0 – уравнение окружности с центром в точке (- 3; - 5), радиусом 7.

у

 

 

х

 

О (- 3; - 5)

 

б) 9 х ² + 16 у ² = 144.

Разделим обе части уравнения на 144:

(каноническое уравнение эллипса ), а ² = 16, b ² = 9, значит, а = 4, b = 3.

Координаты вершин эллипса: А _1,2 ( а; 0), В _1,2 (0; b)

А _1,2 ( 4; 0), В _1,2 (0; 3); а > b.

Большая ось эллипса | А ₁ А ₂| = 2 а = 8, малая ось эллипса | В ₁ В ₂| = 2 b = 6.

Определим координаты фокусов (фокусы эллипса находятся на большой оси), для этого воспользуемся формулой с ² = а ² - b ²;

.

Координаты фокусов: F _1,2 ( с; 0)

F _1,2 ( ; 0).

Эксцентриситет эллипса (для случая b > а, ).

Построим график эллипса у

В ₁ 3

 

 

А ₂ F ₂ F ₁ А ₁

 

- 4 - 4 х

 

- 3

В ₂

в) 25 х ² - 9 у ² - 100 х – 54 у – 206 = 0.

Преобразуем данное уравнение:

 

(25 х ² - 100 х)– (9 у ² + 54 у) – 206 = 0;

25(х ² - 4 х)– 9(у ² + 6 у) – 206 = 0;

25(х ² - 4 х + 4)– 100 – 9(у ² + 6 у + 9) + 81 –206 = 0;

25(х – 2)² – 100 – 9(у + 3)² + 81 – 206 = 0;

25(х – 2)² – 9(у + 3)² – 225 = 0;

25(х – 2)² – 9(у + 3)² = 225;

– каноническое уравнение гиперболы со смещенным центром .

а ² = 9, b ² = 25, значит, а = 3, b = 5. Центр гиперболы находится в точке (2; - 3)

Координаты вершин гиперболы:

действительные вершины: А ₁ (5; - 3), А ₂ (- 1; - 3),

мнимые вершины: В ₁ (2; 2), В ₂ (2; - 8).

Действительная ось гиперболы | А ₁ А ₂| = 2 а = 6, мнимая ось гиперболы | В ₁ В ₂| = 2 b = 10.

Определим координаты фокусов (фокусы гиперболы находятся на действительной оси), для этого воспользуемся формулой с ² = а ² + b ²;

.

Координаты фокусов: F ₁ (5 + ; - 3), F ₂ (2 - ; - 3).

Эксцентриситет эллипса (для случая , ). у

Построим график гиперболы

В ₁

 

- 3 - 1 2 х

F ₂ А ₂ А ₁ F ₁

 

- 8 В ₂

г) х = 1 - .

Преобразуем данное уравнение:

х - 1 = - ;

(х – 1)² = (- )²;

;

- общее уравнение параболы, с вершиной в точке (1; 3), направлением ветвей вниз, с осью симметрии х = 1.

Построим график параболы:

 

№ 4. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.

Метод Крамера.

 

;

1. Найдем определитель данной системы: .

2. Найдем определители , где получен из путём замены первого столбца на столбец свободных членов, остальные определители находятся аналогично.

, , .

3. Находим значения неизвестных :

4. Делаем проверку:

; ; .

Ответ:

Метод Гаусса.

Составим матрицу из коэффициентов перед неизвестными переменными и свободных членов.

 

Приведем матрицу к треугольному виду. Поменяем в матрице первую и вторую строки, для того, чтобы на первом месте была единица.

~

зафиксируем первую строку, домножим ее на «-2», суммируя результат со второй строкой; результат записать на место второй строки;

домножим ее на «-3», суммируя результат с третьей строкой; результат записать на место третьей.

~ ~ поменяем вторую и третью строки местами

 

~ ~ разделим вторую строку на 3, а третью на «-5»

~ получаем систему

,

Ответ:

 

№ 5. Найти обратную матрицу, выполнить проверку:

Пусть дана матрица

1) Вычисляем определитель матрицы А:

2) Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

 

3) Записываем обратную матрицу:

4) Выполнить проверку: .

 

=

= =

= =

Ответ: .

 

Тема 2. Введение в математический анализ

Непрерывность функции

Литература. [2], Гл. II, § 10; [3], Гл. IV, § 1-3 задачи 224-233.

Можно использовать также[6], Гл. V, § 19.; [7], Гл. VI, § 5 задачи 6.5.4., 6.5.6., 6.5.11.

 

Примеры решения типовых задач

№ 6. Вычислить:

1. Примеры и решение пределов с использованием теорем о пределах:

· (1+ ) = 1 + 0 = 1;

· (4x³ - х + 2) = 4x³ - х + 2 =(4 x)³ - х + 2= 4 * 1 - 1 + 2 = 5.

 

2. Примеры и решение пределов с использованием методов раскрытия неопределенностей, а также теорем о пределах:

· = [ = 0, () = 0] =

= =

Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида надо под знаком предела числитель и знаменатель разложить на множители и сократить их далее на общий множитель.

= = = = - 9.

· =

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

= = =

= = = =

= .

· =

Здесь мы также имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы выражений и 1, чтобы получить разность кубов в числителе:

= = =

= = =

= = = .

 

3. Вычислить.

· = =

Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции , и - бесконечно малые при х .

= = .

 

· = =

Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции , и - бесконечно малые при х .

= = .

 

· = =

Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида надо под знаком предела числитель и знаменатель дроби разделить на переменную х с наивысшим показателем.

= = =

Осталось воспользоваться теоремами о пределах, а также тем, что функции и - бесконечно малые при х .

= = .

 

4. Примеры и решение пределов с помощью замечательных пределов:

· =

Домножим числитель и знаменатель дроби на «3» и получим:

= =

Используя теоремы о пределах и первый замечательный предел, получаем:

= 3 =3.

· =

Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим примером, получим:

= = .

· =

Сведем данный предел к первому замечательному пределу, для этого сделаем замену у = х - . Тогда при х , а х = у + , откуда

= =

В числителе дроби используем формулу приведения, тогда

= = = .

· (1 + ) =