Основные свойства непрерывных функций

 

1. Напишите последовательность значений:

 

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) .

 

2. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что:

 

 

Докажите, что

(Указание. Положить где – б.м.в.)

 

3. Используя теоремы о пределах, найдите пределы:

 

 

 

4. Найдите односторонние пределы функции при .

 

5. Найдите точки разрыва функции и исследуйте поведение функции в окрестностях точек разрыва (т. е. найдите односторонние пределы в точке разрыва).

 

6. Пользуясь определением непрерывности функций, докажите, что функция непрерывна:

 

1) в точке ;

 

2) при .

 

7. Найдите точки разрыва и исследуйте их характер для следующих функций:

 

1) ;

 

2) ;

 

3) ;

 

4) .

Тема 4. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин.

Эквивалентные бесконечно малые величины

 

1. Найти пределы, используя первый замечательный предел:

 

 

2. Найти пределы, используя второй замечательный предел:

 

 

3. Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых величин, найти пределы:

 

 

Тема 5. Дифференцирование функций

1. Воспользовавшись четырехступенчатым правилом дифференцирования, найдите производную функции .

 

2. Найдите производные следующих функций, пользуясь формулами и правилами дифференцирования:

1) ; 2) ; 3) ;

 

4) , вычислить ; 5) ;

 

6) 7) ; 8) ;

 

9) ; 10) ; 11) ;

 

12) 13) ; 14) ;

 

15) ; 16) ; 17) ;

 

18) ; 19) ; 20) .

 

3. Напишите уравнение касательной и нормали к параболе в точке, абсцисса которой равна .

 

4. Найдите мгновенную скорость движения тела в момент ч., если известно, что закон, выражающий зависимость пройденного пути от времени, имеет вид .

 

Тема 6. Дифференцирование функций (продолжение)

 

1. Найдите производные следующих функций:

 

; ; ;

 

; ; ;

 

; ; ;

 

; ; .

 

2. Найдите производные неявных функций:

 

;

 

; .

 

3. Найдите производные функций, заданных параметрически:

 

 

 

4. Найдите уравнения касательной и нормали к плоской линии в точке

 

Тема 7. Дифференциал функции.

Производные и дифференциалы высших порядков

 

1. Найдите дифференциал функции в точке , если по определению дифференциала.

 

2. Найдите дифференциал функции по формуле :

 

; ; ;

; ; ;

; ; .

 

3. Найдите приближенное значение .

 

4. Найдите приближенное значение функций:

 

 

5. Найдите производные указанного порядка от заданных функций:

 

 

 

 

Тема 8. Аналитические приложения дифференцируемых функций

 

1. Определить интервал убывания и возрастания функций:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. Найти по правилу Лопиталя следующие пределы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

 

Тема 9. Экстремум функции

 

1. Исследуйте на экстремум следующие функции:

 

1) ;2) ;

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) .

 

2. Найдите точки перегиба функции и интервалы выпуклости (вогнутости) графиков следующих функций:

1) ; 2) ; 3) .

3. Найдите асимптоты следующих функций:

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) .

 

4. Исследуйте функции и постройте их графики:

 

1) ; 2) ;

 

3) ; 4) ;

 

5) ; 6) ;

 

7) ; 8) ;

 

9) ; 10) .

 

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства.

Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования

 

1. Найдите неопределенные интегралы:

 

; ;

 

; ;

; ;

 

; ;

 

; ;

 

; ;

 

;

 

2. Применяя подходящие подстановки, найдите интегралы:

 

; ;

 

; ;