Составление структурно-математической схемы САУ

Структурно-математическая схемы системы автоматического регулирования температуры изображена на рис.3.

В соответствии со структурно – математической схемой дифференциальное уравнение линейной части системы можно записать в следующем виде:

(1.7)

Подставим в уравнение (1.7) численные значения параметров и получим

(1.8)

Уравнение нелинейной части (1.7) дополняется уравнением нелинейного звена (1.3)

(1.9)

Раздел 2. Метод фазовых траекторий

Исследуем устойчивость САУ температуры методом фазового пространства при отключенной местной обратной связи (см. рис.1).

В режиме стабилизации температуры можно принять . При этом уравнения звеньев системы можно записать в следующем виде:

1) Уравнение объекта регулирования

2) Уравнение чувствительного элемента

3) Уравнение усилителя (при k_ос=0)

4) Уравнение двигателя постоянного тока

5) Уравнение редуктора

 

Учитывая, что ток в обмотке поляризованного реле пропорционален отклонению температуры , а скорость отклонения регулирующего органа пропорциональна напряжению , в качестве входной величины нелинейного звена (поляризованного реле) можно принять , а в качестве выходной-величину (см. рис. 1).

 

Рис. 1. Статическая характеристика нелинейного звена

 

На этом рисунке

В соответствии с уравнением объекта регулирования (2.1) и статической характеристикой нелинейого звена (см.рис. 1) уравнения всей системы можно записать в следующем виде:

(2.6)

 

(2.7)

 

(2.8)

(2.9)

(2.10)

 

 

(2.11)

 

(2.12)

 

(2.13)

 

 

(2.14)

 

(2.15)

 

(2.16)

 

Подставив в уравнения (2.14) - (2.16) численные значения, получим:

 

 

По данным уравнениям построим фазовый портрет всей системы.

Раздел 3. Метод Ляпунова

Согласно структурно-математической схеме САУ температуры описывается следующими дифференциальными и алгебраическими уравнениями:

 

(3.1)

 

Введем обозначения:

 

Получим:

(3.2)

 

 

Общий вид системы нелинейных уравнений 2-го порядка, заданных в нормальной форме, представлен ниже:

(3.3)

 

Откуда следует:

Запишем уравнения в канонической форме. Для этого из коэффициентов уравнения составим определитель.

 

(3.4)

 

Для нашего случая определитель имеет вид:

 

Определим корни характеристического уравнения

(3.5)

Ввиду того, что в характеристическом уравнении имеется один нулевой корень, канонические уравнения записываются в следующем виде:

(3.6)

 

Определим постоянные :

(3.7)

где D_ik(λ) обозначает алгебраическое дополнение элемента i - той строки и k- го столбца определителя D(λ).

 

По формуле (3.7) определим:

 

Определим D(λ):

(3.8)

 

Поскольку λ₁=0, то и

(3.9)

 

Для класса нелинейных систем, к которому принадлежит рассматриваемая система, достаточные условия устойчивости имеют вид:

 

Это условие приводит к следующему достаточному условию устойчивости рассматриваемой системы: