Перевод целых чисел из системы счисления с основанием k в десятичную систему счисления

Число, записанное в позиционной системе счисления с любым основанием, переводится в десятичную систему счисления по правилу (6).

Если, например, 45₍₈₎ – число, записанное в восьмеричной системе счисления, то

45₍₈₎=4* 8 ¹+5* 8 ⁰=4*8+5*1=32+5=37₍₁₀₎

Число 203₍₅₎ записано в пятеричной системе счисления, тогда

203₍₅₎=2* 5 ²+0* 5 ¹+3* 5 ⁰=2*25+0*5+3*1=50+0+3=53₍₁₀₎

Меняется только основание системы счисления, алгоритм остается неизменным.

Основание позиционной системы счисления в ней самой всегда записывается как 10; например, в двоичной системе счисления 10₍₂₎ означает число 2₍₁₀₎, а в восьмеричной 10₍₈₎ означает число 8₍₁₀₎.

Чтобы легче осуществлять перевод из системы счисления по любому основанию в десятичную, следует для начала явно пронумеровать разряды исходного числа справа налево, начиная с 0 (см. рисунок 14).

Двоичная система счисления

Двоичная (бинарная) система счисления имеет основание 2. Ее алфавит – цифры 0 и 1. Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную также справедливо правило (6). Представим в десятичном виде число 1101₍₂₎, или, что то же самое, &1101 (& - амперсант, - этим символом принято указывать то, что следующая за ним запись двоичная).

1101₍₂₎=1* 2 ³+1* 2 ²+0* 2 ¹+1* 2 ⁰=1*8+1*4+0*2+1*1=13₍₁₀₎

Рис. 14. Перевод числа из двоичной СС в десятичную.

Но двоичная система имеет некоторые приятные особенности, т.к. коэффициентами при степенях двойки в ней могут быть только либо нули (и тогда можно просто игнорировать разряд числа, имеющий значение “0”), либо единицы (умножение на “1” также можно опустить).

Т.е. достаточно просуммировать “два в соответствующей степени” только в тех позициях двоичного числа, в которых находятся единицы. Степень же, в которую нужно возводить число 2, равна номеру позиции.

Арифметические операции в любой позиционной системе счисления также имеют общую логику.

Таблица 4.

 

		“Круглые” числа в двоичной СС
&101	= 5(10)	&1	= 2^0	= 1
+ 1		&10	= 2^1	= 2
&110	= 6(10)	&100	= 2^2	= 4
+ 1		&1000	= 2^3	= 8
&111	= 7(10)	&10000	= 2^4	= 16

 

 

Каждый разряд двоичного числа имеет информационную емкость 1 бит. На основании одного двоичного разряда можно закодировать только два десятичных числа - &0=0₍₁₀₎, &1=1₍₁₀₎, на основании двух двоичных разрядов можно закодировать уже четыре десятичных числа – &00=0₍₁₀₎, &01=1₍₁₀₎, &10=2₍₁₀₎, &11=3₍₁₀₎, тремя двоичными разрядами можно представить восемь десятичных чисел и т.д. в соответствии с формулой Хартли (2).

Таблица 5.

 

	2^0	десятичное		2^2	2^1	2^0	десятичное
2^1	2^0	десятичное

 

Мы видим, что добавление каждого следующего разряда вдвое увеличивает количество двоичных комбинаций. Графически это может быть представлено так:

Рис. 15. Каждый следующий разряд двоичного числа удваивает количество возможных комбинаций из нулей и единиц.

 

Таблицу степеней числа 2 от 2⁰ до 2¹⁰ следует знать наизусть.

Таблица 6.

N
2^N

 

Открытие двоичного способа представления чисел приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Известный немецкий математик Лейбниц (1646-1716) в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Он подчеркивал, что "вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок".

Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через 2,5 столетия, когда именно двоичная система счисления нашла применение в качестве универсального способа кодирования информации в компьютерах.