Множини як основні поняття дисципліни.

Множина – поняття настільки широке, що його не можна означити через інші, ще простіші чи загальніші поняття. Тому воно вводиться як вихідне, первісне, не означуване. Ми вже знаємо, що множина характеризується різними властивостями, тобто, як зазначає К.Й. Щербакова, множина задана деякими характеристиками. Під цими характеристиками розуміють такі властивості, якими володіють усі об’єкти, що належать даній множині і не володіє жоден об’єкт, що не належить їй (цей предмет не є її елементом).

Об’єкти, які утворюють множину, називаються елементами цієї множини. Це можуть бути реальні предмети: речі, іграшки, малюнки, звуки, рухи; абстрактні: числа, геометричні фігури, відносини і т.д або зображення цих предметів. Множина на відміну від невизначеної множинності має межі і може бути охарактеризована натуральним числом. У такому випадку вважають, що число визначає потужність множини. Множина – це перервна, дискретна величина (конкретна), в якій кожен елемент можна виділити і перелічити.

Множину вважають заданою, якщо про кожний об’єкт можна сказати, чи є він елементом цієї множини, чи ні.

Є два способи задання множин:

- переліком усіх елементів;

- формулюванням характеристичної властивості.

Так, переліком задають різні вікові групи дітей у дошкільних закладах (списком дітей кожної вікової групи), іграшки ігротеки для кожної вікової групи, спортивні знаряддя тощо. Проте, виявляється, що не кожну множину можна задати цим способом. Тоді її задають формулюванням властивості, яку мають всі елементи даної множини і тільки вони. Ця властивість називається характеристичною властивістю множини. Так, характеристичною властивістю елементів множини всіх парних чисел є подільність кожного з них на 2.

Позначимо деякі множини великими латинськими буквами A, B,C, D, а елементи множин - малими a, b, c, d.

Множини А1=(a, b, c, d) і А2 = (-2,-1,0, 1, 2) задано перелічуванням або набором їхніх елементів. Якщо в заданій множині А3, крім названих елементів a, b, c, d є ще елементи, які неможливо вказати, то замість них ставлять крапки: А3=(a, b, c, d…).

Приналежність елемента а до множини А1 записується так: а є А1. Читається так: «а є елементом множини А1» чи «а належить до А1. якщо треба записати, що число 2 не належить А1, записують так: 2/єА1 «2 не належить А1».

Елементами множини можуть бути не тільки окремі об’єкти, а й їхні сукупності (напр., при лічбі парами, трійками, п’ятірками, десятками). При цьому елементами множин є не один предмет, а два, три, п’ять, десять, тобто їх сукупність.

Основними операціями з множинами є:

- об’єднання;

- переріз;

-віднімання.

Об’єднанням (сумою) двох множин називають третю множину, яка містить елементи цих множин. Напр., А={1,2,3}, В={2,4,6}, АЕВ={1,2,3,4,6}. При цьому об’єднання множин не завжди дорівнює сумі чисел їхніх елементів. Воно дорівнює сумі чисел лише тоді, коли в обох множинах немає спільних елементів. Якщо такі є, то в сумі вони містяться лише один раз. Напр., є загадка «Два батька та два сина, а всього їх троє». Скільки їх усього? Маємо приклад множин, коли сума множин не дорівнює сумі чисел. Оскільки та сама людина міститься двічі (і в першій, і в другій множині), то вона рахується лише один раз.

Дії з множинами найкраще зображувати графічно. Так, на рис. 1 зображено об’єднання множин.

Перерізом двох множин називається множина, яка містить усі їхні спільні елементи (рис. 2). (Напр., А={1,2,3}. В={2,4,6}, АСВ={2}). Так, якщо, наприклад, одна множина характеризується за ознакою форми (різні трикутники), а друга множина – за кольором (червоні геометричні фігури), то перерізом цих множин будуть червоні трикутники.

При відніманні двох множин матимемо третю множину, яка називається різницею. Напр., А={1,2,3}. В={2,4,6}, В\А={4,6}. Різниця містить елементи першої множини, які не належать другій. Так, якщо перша множина складалась з геометричних фігур різного кольору, а друга – з червоних геометричних фігур, то різницею будуть всі геометричні фігури з першої множини, але не червоного кольору.

Види множин.

Характеризуючи множини, в математиці застосовують такі поняття:

-скінченна та нескінченна множина;

- рівнопотужна та нерівнопотужна;

- одно-двохелементна, порожня (пуста) множина або підмножина.

Скінченні множини – множини, які не еквівалентні жодній із своїх власних підмножин. Множина має межі, яку можна порахувати …

Нескінченна множина - множина, з якої хоч би одним способом можна виділити власну підмножину, еквівалентну самій множині. Меж немає: снігопад, листопад, роса, трава у полі, зірки на небі….

Рівнопотужні множини -це множини, між елементами яких можна встановити взаємно однозначну відповідність

Нерівнопотужні множини - це множини, між елементами яких не можна встановити взаємно однозначну відповідність

Задаючи характеристичною властивістю якусь множину, ми не завжди знаємо наперед, чи містить вона взагалі елементи. Тому для загальності міркувань введемо поняття порожньої множини, тобто такої, яка не містить жодного елемента. Наприклад, множина А буде порожньою, оскільки ділення на нуль неможливе.

Множина, яка має один елемент, називається одноелементною, або одиничною множиною.

Зазначимо, що діти раннього і дошкільного віку знайомляться, в основному, тільки зі скінченною та пересічною множиною.