Тема: Электромагнитная индукция

Основные формулы и указания к решению задачи

Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея – Максвелла):

, (6.1)

где Е_i – электродвижущая сила индукции;

N – число витков контура;

y – потокосцепление.

Количество электричества q, протекающего в контуре, определяется по формуле:

, (6.2)

где R – cопротивление контура;

Dy – изменение потокосцепления.

Электродвижущая сила самоиндукции Е_i, возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем, определяется по формуле:

или , (6.3)

где L – индуктивность контура.

Потокосцепление контура определяется по формуле:

(6.4)

где L – индуктивность контура.

Индуктивность соленоида (тороида) определяется по формуле:

(6.5)

Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L:

а) после замыкания цепи

или , (6.6)

где I ₀ – сила тока в цепи при t = 0;

t – время, прошедшее после замыкания цепи;

Е – ЭДС источника тока;

б) после размыкания цепи

или (6.7)

где t – время, прошедшее с момента размыкания цепи.

 

Пример решения задачи

Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d = 0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I = 1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуты накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Решение. Количество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством:

dQ = I dt. (6.8)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой:

(6.9)

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t ® ¥ I ® 0), получим

. (6.10)

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

(6.11)

Для определения заряда, протекающего через обмотку соленоида, следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами:

; , (6.12)

где – магнитная постоянная;

N – число витков;

l ₁ – длина соленоида;

S ₁ – площадь сечения соленоида;

r – удельное сопротивление провода;

l – длина провода;

S – площадь сечения провода;

d – диаметр провода;

d ₁ – диаметр соленоида.

Подставим найденные выражения в формулу, получим:

(6.13)

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диаметр d ₁ соленоида соотношением , где N – число витков, тогда формуле можно придать вид

(6.14)

Но есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу.

Следовательно,

(6.15)

Выполним проверку единиц измерения величин.

(6.16)

Произведя вычисления по формуле (6.15) получим q = 363 мкКл.

 

6.3 Задание для самостоятельного выполнения по вариантам

Имеется катушка диаметром d и длиной l, имеющая однослойную обмотку из плотно прилегающих друг к другу витков металлического провода, радиус которого r. Индуктивность катушки L. Сопротивление катушки R. Катушку можно отключить от источника тока с э.д.с. Е и замкнуть накоротко или подключить к источнику. При этом через промежуток времени t после включения (выключения) источника тока сила тока в цепи достигнет значения I, что составляет Х % от предельного значения силы тока I ₀, по катушке пройдет заряд Q, и напряжение на зажимах катушки U примет определенное значение. Предельное значение силы тока в катушке I ₀. Определите величину, обозначенную в строке для вашего варианта вопросительным знаком (табл. 6.1). Если какие-либо клетки таблицы напротив вашего варианта не заполнены, значит для решения задачи эти данные не нужны.

Например, задача варианта № 5 читается так: Катушка диаметром 0,05 м, длиной 0,5 м, индуктивностью 1 Гн, имеющая обмотку из плотно прилегающих друг к другу витков медного провода, радиус которого 2×10^-4 м, подключается к источнику тока. Какой ток через катушку будет предельным, если через 10^–4 с после включения источника через катушку пройдет заряд 4×10^-6 Кл?

 

Значения величин. Таблица 6.1

№ вари­анта

Вкл/ выкл

Е, В

l, м

d, м

r, м

Материал катушки

L, Гн

I 0, А

t ×10^–4, с

Х, %

Q, Кл

U, В

R, Ом

Включение

0,4

0,02

1×10^-4

?

0,3

0,03

1×10^-4

Железо

?

0,5

0,02

2×10^-4

Алюминий

0,6

?

0,3

0,04

3×10^-4

0,5

?

0,5

0,05

2×10^-4

Медь

?

4×10^-6

0,4

0,02

3×10^-4

?

0,3

0,04

3×10^-4

0,5

?

?

Выключение

0,3

0,03

1×10^-4

?

0,2

0,02

1×10^-4

Железо

?

0,6

0,03

2×10^-4

Алюминий

0,7

?

0,4

0,02

3×10^-4

0,5

?

0,6

?

4×10^-6

0,4

0,02

3×10^-4

?

0,3

0,04

3×10^-4

0,5

?

?

Тема: Переменный ток