Матрицы и определители 2-го и 3-го порядков. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Раздел I

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКА.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

1. Матрицы и определители второго порядка..………………… 3

2. Некоторые виды квадратных матриц второго порядка …….. 5

3. Свойства определителей второго порядка …………………... 6

4. Решение неоднородной системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера ………………………………... 8

5. Матрицы и определители третьего порядка ……………….. 11

6. Некоторые виды квадратных матриц третьего порядка …... 13

7. Свойства определителей третьего порядка ………………… 14

8. Миноры и алгебраические дополнения элемента матрицы. Разложение определителя третьего порядка по элементам строки или столбца матрицы …………………………………………… 14

9. Решение неоднородной системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера ………………………………. 15

10. Существование ненулевых решений однородной системы двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя)

неизвестными …………………………………………………… 17

11. Решение системы двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными ……………………………………………. 19

12. Решение систем линейных неоднородных уравнений

средствами матричного исчисления …………………………... 20

 

МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

13.1. Основные понятия и определения систем линейных уравнений ………………………………………………………... 26

13.2. Критерий совместности системы линейных неоднородных уравнений (критерий Кронекера-Капелли) …………………… 27

13.3. Критерий определенности системы линейных неоднородных уравнений ……………………………………… 29

13.4. Критерий существования ненулевых решений системы линейных однородных уравнений …………………………… 30

13.5. Фундаментальные решения системы m линейных однородных уравнений c n переменными (m < n) ………….. 31

14. Решение системы линейных неоднородных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса и Гаусса - Жордана) …………………………………….. 34

Раздел II. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА

МНОЖЕСТВО

15. Понятие множества …………………………………………. 47

16. Обозначение множества ……………………………………. 48

17. Пустое множество ………………………………………….. 48

18. Характеристическое свойство элементов множества ……. 49

19. Способы задания множества ………………………………. 50

20. Числовые множества ……………………………………….. 50

21. Диаграммы Эйлера-Венна ………………………………….. 52

 

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ

22. Отношение включения множеств и его свойства ……….. 56

23. Равенство множеств и его свойства ……………………….. 58

24. Универсальное множество …………………………………. 59

25. Булеан ………………………………………………………... 59

 

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

26. Объединение множеств …………………………………….. 61

27. Пересечение множеств ……………………………………... 63

28. Теорема о связи включения, пересечения и объединения множеств ………………………………………………………… 64

29. Основные свойства операций объединения и пересечения множеств ………………………………………………………… 65

30. Разность множеств. Дополнение множества и его основные свойства ………………………………………………………….. 67

31. Принцип двойственности алгебры множеств …………….. 70

32*. Симметрическая разность множеств и её свойства ……... 70

ГЛАВА 2. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

СООТВЕТСТВИЯ И БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

33. Упорядоченные пары, тройки,¼, n - ки (кортежи) ………. 74

34. Прямое произведение двух, трёх,¼, n множеств. Декартов квадрат, куб,¼, n -ая декартова степень множества А. Геометрический смысл при A = R …………………………….. 76

35. Свойства прямого произведения двух и трёх множеств …. 78

36. Бинарные отношения ……………………………………….. 78

37. График бинарного отношения …………………………….. 80

38. Граф бинарного отношения………………………………... 81

39. Операции над бинарными отношениями и их

графиками ……………………………………………………….. 82

 

ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

40. Некоторые виды бинарных отношений ………………….. 101

41. Отношение эквивалентности ……………………………... 105

42. Покрытие и разбиение множества ……………………….. 108

43. Свойства отношения эквивалентности на данном множестве. Фактор – множество.………………………………………….. 111

 

ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА

44. Отношение порядка и его граф ………………………… 122

45. Линейный порядок ………………………………………… 124

46. Виды отношения порядка. Предпорядок ………………… 126

47. Упорядоченное множество, линейно упорядоченное множество ……………………………………………………… 127

48*. Условия минимальности и максимальности. Вполне упорядоченное множество ……………………………………. 127

 

ПЕРЕСТАНОВКИ

49. Понятие перестановки …………………………………….. 132

50. Транспозиция ……………………………………………… 134

51. Инверсия. Четность перестановки ……………………….. 135

 

ОТОБРАЖЕНИЯ

52.1. Отображения (соответствия) …………………………… 141

52.2. Способы задания отображений ………………………… 144

52.3. Область определения и область значений

отображений …………………………………………………… 144

53. Виды отображений. Преобразования ……………………. 145

54. Операции над отображениями и их свойства …………… 147

55. Равномощные (эквивалентные) множества ……………… 154

 

ФУНКЦИИ

56.1. Понятие функции (функционального отображения) …. 157

56.2. Способы задания функции ……………………………… 158

56.3. Область определения и область значений функции. График

функции ………………………………………………………... 159

57. Виды функций ……………………………………………... 161

58. Обратная функция. Обратимые функции ……………… 164

59. Композиция (суперпозиция) функций …………………… 166

60. Понятие неявной функции от одной переменной ………. 169

61. Четные и нечетные функции ……………………………... 170

62. Периодические функции ………………………………….. 171

63. Монотонные функции …………………………………….. 171

64. Ограниченные и неограниченные функции …………… 172

 

ПОДСТАНОВКИ

65.1. Понятие подстановки …………………………………… 174

65.2. Инверсия, транспозиция ………………………………… 175

65.3. Четность подстановки …………………………………... 176

66. Операции над подстановками и их свойства ……………. 179

67. Знак подстановки ………………………………………….. 181

68.1. Разложение подстановок ……………………………… 182

68.2. Циклы …………………………………………………….. 185

68.3. Транспозиции ……………………………………………. 189

 

СОЧЕТАНИЯ

78. Сочетания без повторений ……………………………… 210

 

РАЗМЕЩЕНИЯ

79. Размещения без повторений ……………………………… 215

80. Перестановки с повторениями …………………………… 216

81. Размещения с повторениями ……………………………... 218

82. Бином Ньютона ……………………………………………. 221

83. Биномиальные коэффициенты и их основные

свойства ………………………………………………………… 223

84. Треугольник Паскаля ……………………………………… 224

 

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ.

Математические понятия

85.1. Понятие. Определяемые и неопределяемые понятия … 226

85.2. Объем и содержание понятия ………………………… 227

86. Различные способы определения понятий ………………. 231

87. Требования, предъявляемые к определению понятий ….. 232

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

99. Закон тождества …………………………………………… 276

100. Закон противоречия ……………………………………… 277

101. Закон исключённого третьего …………………………… 277

102. Закон двойного отрицания ………………………………. 277

103. Закон «ex falso quodlibet» ……………………………….. 277

104. Закон «modus ponens» ……………………………………. 278

105. Закон «modus tollens» ……………………………………. 278

106. Закон силлогизма ………………………………………… 279

107. Закон контрапозиции …………………………………….. 280

 

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

111.1. Основные понятия ……………………………………... 290

111.2 Свойства логического следствия ……………………… 292

 

ПРЕДИКАТЫ

117. Недостаточность алгебры (логики) высказываний для анализа рассуждений. Термы …………………………………. 317

118. Предикаты (высказывательные формы) ………………... 318

119. Множество истинности предиката. График предиката. Матричное задание предиката ………………………………... 319

120. Многоместные предикаты ………………………………. 322

 

КВАНТОРЫ

124. Подстановка значений свободных переменных в

предикаты ……………………………………………………… 338

125. Квантор общности ……………………………………….. 339

126. Квантор существования ………………………………….. 345

127. Изображение квантификаций таблицами ………………. 350

 

ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ.

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

128. Элементарные формулы логики предикатов …………... 355

129. Понятие формулы логики предикатов ………………….. 356

130. Равносильные формулы логики предикатов …………… 357

131. Основные свойства логических операций над

предикатами ……………………………………………………. 357

132. Общезначимые формулы логики предикатов ………….. 358

133. Основные свойства кванторов …………………………... 360

134. Законы логики предикатов ………………………………. 367

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Раздел I

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го И 3-го ПОРЯДКОВ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ