Глава 3. Элементы комбинаторики

 

69. Комбинаторные задачи. Исторические сведения ……… 194

 

ПРАВИЛА СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ

70. Мощность множества ……………………………………... 194

71. Число элементов в объединении непересекающихся

множеств ……………………………………………………….. 195

72. Правило суммы ……………………………………………. 196

73. Формула включений и исключений ……………………… 196

74. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств. Правило произведения ……………………………. 201

75. Дерево возможных вариантов ……………………………. 206

76. Обобщенное правило произведения …………………… 207

77. Понятие перестановки. Число перестановок ……………. 207

СОЧЕТАНИЯ

78. Сочетания без повторений ……………………………… 210

 

РАЗМЕЩЕНИЯ

79. Размещения без повторений ……………………………… 215

80. Перестановки с повторениями …………………………… 216

81. Размещения с повторениями ……………………………... 218

82. Бином Ньютона ……………………………………………. 221

83. Биномиальные коэффициенты и их основные

свойства ………………………………………………………… 223

84. Треугольник Паскаля ……………………………………… 224

 

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И СТРУКТУРЫ

Математические понятия

85.1. Понятие. Определяемые и неопределяемые понятия … 226

85.2. Объем и содержание понятия ………………………… 227

86. Различные способы определения понятий ………………. 231

87. Требования, предъявляемые к определению понятий ….. 232

Высказывания и логические операции над ними

88.1. Высказывания ……………………………………………. 238

88.2. Простые (элементарные) и сложные высказывания ….. 239

89. Логические операции над высказываниями ……………... 240

89.1. Отрицание ………………………………………………... 241

89.2. Конъюнкция ……………………………………………... 241

89.3. Дизъюнкция ……………………………………………… 242

89.4. Импликация ……………………………………………… 244

89.5. Эквиваленция ……………………………………………. 245

90. Равносильность высказываний …………………………… 246

91. Замечания по поводу терминов и обозначений …………. 248

 

ФОРМУЛЫ И ФУНКЦИИ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

92.1. Определение формулы логики высказываний ………… 252

92.2. Соглашения о записи формул логики высказываний … 253

93. Равносильные формулы логики высказываний …………. 255

94. Тавтологии, противоречии, выполнимые формулы логики высказываний ………………………………………………….. 256

95. Свойства логических операций над высказываниями ….. 261

96. Свойства тавтологии ………………………………………. 265

97. Таблицы тавтологических эквиваленций и импликаций.. 267

98*. Функции логики высказываний …………………………. 269

 

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

99. Закон тождества …………………………………………… 276

100. Закон противоречия ……………………………………… 277

101. Закон исключённого третьего …………………………… 277

102. Закон двойного отрицания ………………………………. 277

103. Закон «ex falso quodlibet» ……………………………….. 277

104. Закон «modus ponens» ……………………………………. 278

105. Закон «modus tollens» ……………………………………. 278

106. Закон силлогизма ………………………………………… 279

107. Закон контрапозиции …………………………………….. 280

 

ВЗАИМНО-ОБРАТНЫЕ И ВЗАИМНО-ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ТЕОРЕМЫ

108. Понятие теоремы. Структура теоремы …………………. 281

109. Простые и сложные теоремы ……………………………. 282

110. Взаимно - обратные теоремы и взаимно - противоположные теоремы. Логический квадрат ………………………………… 283

 

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ

111.1. Основные понятия ……………………………………... 290

111.2 Свойства логического следствия ……………………… 292

 

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

112. Основные понятия. Примеры …………………………… 295

113. Упражнения ………………………………………………. 298

 

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

114.1. Дедуктивные умозаключения …………………………. 299

114.2. Правила вывода ………………………………………… 300

114.3. Некоторые правила вывода ……………………………. 301

114.4. Схемы доказательств …………………………………... 304

114.5. Полная и неполная индукция ………………………….. 306

115. Доказательство от противного (косвенное

доказательство) ………………………………………………... 307

116. Индуктивный и дедуктивный методы рассуждения. Метод математической индукции ……………………………………. 309

 

ПРЕДИКАТЫ

117. Недостаточность алгебры (логики) высказываний для анализа рассуждений. Термы …………………………………. 317

118. Предикаты (высказывательные формы) ………………... 318

119. Множество истинности предиката. График предиката. Матричное задание предиката ………………………………... 319

120. Многоместные предикаты ………………………………. 322

 

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПРЕДИКАТАМИ

121. Применение операций логики высказываний к предикатам.

121.1. Отрицание ………………………………………………. 331

121.2. Конъюнкция ……………………………………………. 331

121.3. Дизъюнкция …………………………………………….. 332

121.4. Импликация …………………………………………….. 332

121.5. Эквиваленция …………………………………………... 332

122. Равносильные предикаты. Однозначность логических операций над предикатами …………………………………… 334

123. Тождественно истинные, тождественно ложные, выполнимые и опровержимые предикаты. Логическое следствие предикатов ……………………………………………………... 336

 

КВАНТОРЫ

124. Подстановка значений свободных переменных в

предикаты ……………………………………………………… 338

125. Квантор общности ……………………………………….. 339

126. Квантор существования ………………………………….. 345

127. Изображение квантификаций таблицами ………………. 350

 

ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ.

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

128. Элементарные формулы логики предикатов …………... 355

129. Понятие формулы логики предикатов ………………….. 356

130. Равносильные формулы логики предикатов …………… 357

131. Основные свойства логических операций над

предикатами ……………………………………………………. 357

132. Общезначимые формулы логики предикатов ………….. 358

133. Основные свойства кванторов …………………………... 360

134. Законы логики предикатов ………………………………. 367