Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Элементы теории матричных игр

Поиск

Предмет теории игр. Основные понятия. Игры в чистых стратегиях.

Теорией игр называется математическая теория конфликтных ситуаций.

Игра это упрощенная модель конфликтной ситуации.

Задача теории игр: выработка рекомендаций поведения, которое приводит к наибольшей выгоде одной из сторон.

Игры различаются по числу участвующих сторон. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока с противоположными интересами. Если число участников более двух, то игра называется множественной.

В парной игре называют А и В. В правилах игры перечисляют все возможные ситуации и все возможные варианты действий игроков. Объем информации каждой из сторон о поведении другой и каждая игра явно или косвенно должна быть оценена некоторым числом. Это число называется выигрышем или проигрышем. Кодом теории матричных игр называется выбор одного из предложенных противниками игры действий.

Стратегия – план, по которому совершается выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации.

Задача состоит в выборе стратегии, приводящей к наибольшему выигрышу, предположительно, что второй игрок так же выбирает наилучшие для себя стратегии. В зависимости от стратегий игры бывают конечные и бесконечные.

Парной игрой с нулевой суммой называется игра, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого игрока.

Пусть игрок А выбирает одну из своих стратегий А1, А2, …Аm, игрок В выбирает B1, B2, …,Bn. Причем выбор осуществляется при полном незнании выбора другого игрока. Парная игра состоит из двух ходов:

1) выбор игроком А своих стратегий;

2) выбор игроком В своих стратегий.

Пусть - выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при условии, что игрок А выбирает стратегию Аi, а игрок BBj. Элементы располагают в виде таблицы:

Bj Ai B1 B2 Bn
A1 a11 a12 a1n
A2 a21 a22 a2n
 
Am am1 am2 amn

Эта таблица называется платежной матрицей игры.

Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию Аi. В наихудшем для себя варианте игрок А получит выигрыш равный минимальному элементу находящемуся в i -той строке: . Поэтому игрок А должен выбрать такую стратегию, при которой он получит выигрыш . - чистая нижняя цена игры или максимин, а стратегия, при которой достигается максимин называется максиминной.

Пусть игрок В выбирает некоторую стратегию Bj, при которой его проигрыш не превосходит максимального значения элементов j -того столбца: . Поэтому игрок В должен минимизировать свой проигрыш, т.е. выбрать стратегию, при которой этот проигрыш . - чистая верхняя цена игры или минимакс, а стратегия, при которой достигается минимакс называется минимаксной.

Таким образом, используя свои чистые стратегии игрок А обеспечивает себе выигрыш не превосходящий , а игрок В – проигрыш не меньше .

Таким образом, для любой конечной матричной игры чистая нижняя цена игры не превосходит чистой верхней цены. Если чистая нижняя цена игры совпадает с чистой верхней ценой, т.е. , то матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях. Пусть i0 и j0 – номера чистых стратегий игроков А и В, при которых достигается это равенство. Тогда пара чистых стратегий i0,Bj0) называется седловой точкой матричной игры. Элемент ai0j0 платежной матрицы называется седловым элементом матричной игры, называется чистой ценой игры, i0, Bj0, ) называют решением игры.

Если игра имеет седловую точку, то седловой элемент ai0j0 является наименьшим для строки с номером i0 и наибольшим для столбца с номером j0. Поэтому .

Если игрок В отклоняется от своей оптимальной стратегии, то при этом его проигрыш возрастет, аналогичное отклонение игрока А от своей оптимальной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша. Таким образом, максиминная и минимаксная стратегии в игре с седловой точкой обладают устойчивостью и создают ситуацию равновесия в игре. Итак, если игровая матрица содержит седловую точку, то решение игры заранее известно. Каждый из игроков имеет свою оптимальную стратегию, для игрока А – максиминная, для игрока В – минимаксная.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-20; просмотров: 346; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.59.58.68 (0.007 с.)