Процессы в ключе на биполярном транзисторе

I. ЭЛЕКТРОННЫЕ КЛЮЧИ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Одним из основных элементов импульсной и цифровой техники является ключевое устройство. Ключевые устройства (ключи) слу­жат для коммутации (переключения) цепей нагрузки под воздей­ствием внешних управляющих сигналов. Ключи входят в качестве отдельных элементов в состав сложных устройств — триггеров, мультивибраторов и т. д. Ключ может находиться либо в замкнутом, либо в разомкнутом состоянии. В замкнутом состоянии (ключ включен) сопротивление ключа мало, через него течет боль­шой ток и все напряжение источника выделяется на резисторе R. Напряжение на выходе и _вых равно нулю. В разомкнутом состоянии (ключ выключен) сопротивление ключа бесконечно большое, по­этому ток через него практически не протекает. Напряжение на выходе и _вых равно Е. Следовательно, при коммутации ключа на вы­ходе создаются перепады напряжения с амплитудой U_m=E.

В зависимости от вида элемента, применяемого для коммута­ции, ключевые устройства подразделяются на механические, электромеханические и электронные. Примером механического ключа является обычный выключатель. Электромагнитное реле выполня­ет функции электромеханического ключа, который под воздействи­ем электрического управляющего сигнала производит коммутацию контактов.

Для построения электронных ключей используют диоды, тран­зисторы, электронные лампы и т. д. В зависимости от того, какой прибор использован, различают диодные, транзисторные, лампо­вые и т. п. ключи.

При создании транзисторных ключей используются биполярные или полевые транзисторы.

II. МУЛЬТИВИБРАТОРЫ

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МУЛЬТИВИБРАТОРАХ КАК РЕЛАКСАЦИОННЫХ ГЕНЕРАТОРАХ

Мультивибратор относится к релаксационным генераторам. Релаксационный генератор является источником колебаний, фор­ма которых отличается от синусоидальной. Релаксационные коле­бания бывают прямоугольные, пилообразные и т. д. Генераторы релаксационных колебаний используют для формирования оди­ночных импульсов и импульсных последовательностей, деления частоты, в качестве запускающих элементов, источников синхро­низирующего сигнала и т. д.

Колебательный процесс в релаксационном генераторе состоит в поочередном накоплении энергии от источника питания нако­пителем и выделении ее в виде тепла в резисторах схемы. Нако­питель переключается с процесса накопления на выделение энер­гии с помощью коммутирующего устройства при достижении оп­ределенного уровня энергии. Управление коммутирующим уст­ройством производится по цепи обратной связи. Таким образом, релаксационный генератор обязательно содержит источник энер­гии, накопитель, коммутирующее устройство и цепь обратной свя­зи. В качестве коммутирующего устройства обычно используют транзистор, работающий в ключевом режиме.

Релаксационный генератор может работать в одном из сле­дующих режимов: ждущем, автоколебательном, синхронизации и деления частоты.

В ждущем режиме генератор имеет состояние устойчивого и квазиустойчивого равновесия. Квазиустойчивым равновесием называют такое состояние генератора, при котором он, будучи вы­веденным из состояния равновесия, через некоторое время возвра­щается к этому состоянию благодаря внутренним процессам. Пе­реход из устойчивого равновесия в квазиустойчивое происходит под действием запускающих импульсов, а обратно генератор воз­вращается самопроизвольно через время, зависящее от парамет­ров генератора.

В автоколебательном режиме состояния устойчивого равнове­сия нет, а существует два состояния квазиустойчивого равнове­сия. В процессе работы генератор переходит из одного квазиус­тойчивого состояния в другое. Период колебаний определяется параметрами генератора.

В режиме синхронизации на релаксационный генератор дейст­вует внешнее синхронизирующее напряжение. Генератор имеет также два квазиустойчивых состояния, однако период колебаний определяется синхронизирующим сигналом.

Среди большого числа разнообразных релаксационных гене­раторов можно выделить два типа в зависимости от способа ор­ганизации обратной связи: мультивибраторы и блокинг-генераторы. Подобные генераторы широко применяются в импульсной тех­нике. Мультивибратор представляет собой двухкаскадное устрой­ство, обратная связь в котором образуется соединением выхода одного каскада со входом другого и, наоборот, с помощью кон­денсаторов. Блокинг-генератор — это устройство, обратная связь с выхода на вход которого осуществляется через импульсный трансформатор. Обратная связь в этих устройствах положительная.

 

ЖДУЩИЙ МУЛЬТИВИБРАТОР

Схема и принцип действия. Ждущий мультивибратор (иногда его называют одновибратором) предназначен для формирования одиночных импульсов заданной длительности. Форма импульсов близка к прямоугольной. Формирование импульса на выходе од­новибратора происходит только после подачи на вход запускаю­щего сигнала. До подачи запускающего сигнала мультивибратор находится в устойчивом состоянии, т. е. как бы ждет запуска, по­этому такой режим называют ждущим.

После подачи запускающего сигнала осуществляется переход в следующее состояние, называемое квазиустойчивым, так как в нем мультивибратор долго находиться не может, и через некото­рое время самостоятельно возвращается к устойчивому состоя­нию.

Принципиальная схема одновибратора с коллекторно-базовыми связями приведена на рис. 7,а.

 

Рис. 7-а.

 

Схема содержит два каска­да. Один из них, собранный на транзисторе VT1, представляет со­бой транзисторный ключ с форсирующей емкостью; R1 и C1 — элементы базовой, а R_к1 — коллекторной цепи этого каскада. Вто­рой каскад, собранный на транзисторе VT2, служит усилителем с резистивно-емкостной (R2,C2) связью. Вход (базовая цепь) каж­дого из каскадов подключен к выходу (к коллектору) другого каскада. Такое включение каска­дов в мультивибраторе создает петлю положительной обратной связи.

На базу транзистора VT2 че­рез резистор R2 подается напря­жение от источника Ек — поло­жительной полярности. Выход­ной сигнал снимается с коллек­тора транзистора VT2. Элементы Сз, Rз, представляющие собой укорачивающую цепочку, сов­местно с диодом VD образуют цепь запуска.

Работа мультивибратора в ждущем режиме может быть раз­делена на три этапа: исходное состояние, рабочий период и пе­риод восстановления. Процессы, происходящие в мультивибрато­ре, иллюстрируют диаграммы на рис. 7,б.

 

 

Рис. 7-б.

Рис. 7-б.

Исходное устойчивое состояние. Транзистор VT2 открыт, a VT1 закрыт. Транзи­стор VT2, удерживается в откры­том состоянии током I_{Б 2}, созда­ваемым источником Ек и втекаю­щим в базу транзистора VT2 че­рез резистор R2. Этот ток равен: I_Б2 = (Ек— U_{БЭ НАС 2}) / R2. Сопротив­ление R2 выбрано таким, чтобы ток базы транзистора VT2 был больше тока базы на границе насыщения. По­этому транзистор VT2 насыщен. Напряжение на его коллекторе U_К2 име­ет небольшое остаточное значение.

При открытом и насыщенном транзисторе VT2 транзистор VT1 будет закрыт, если напряжение на его базе U_{Б 2} меньше поро­га открывания Un, т. е. U_{Б 2} < Un.

Напряжение U_{Б 1}, приложенное к базе VT1 складывается из остаточного напряжения U_КЭнас2 на коллекторе насыщенного транзистора VT2 и падения напряжения на R1 от тока / _КБ0 тран­зистора VT1. Напряжение определяют алгебраическим суммиро­ванием напряжений на элементах при обходе замкнутого контура от базы транзистора VT1 к его эмиттеру. Таким образом, VT1 за­крыт, если выполняется условие:

U_Б1 < U_П.

Это условие обеспечивают, подбирая параметры схемы ждущего мультивибратора.

Напряжение на коллекторе закрытого транзистора VT1 близко к Е_К. Конденсатор С2 заряжен до напряжения U_C2 ≈ Е_К - U_{БЭ НАС 2} (это напряжение определяется суммированием напряжений между коллектором и эмиттером и эмиттером и ба­зой V Т2, т. е. на элементах внешнего по отношению к конденса­тору контура при обходе его в направлении от левой обкладки к правой). Конденсатор C1 практически разряжен.

Запуск и опрокидывание. В момент t₁ на базу VT2 поступает импульс тока, формируемый цепью запуска. Под дейст­вием этого импульса транзистор VT2 закрывается, напряжение U_{К 2} на его коллекторе нарастает до значения, близкого к Ек. По­скольку это напряжение существенно превышает порог открывания Un транзистора VT1, последний открывается и входит в насы­щение, что обеспечивается соответствующим выбором сопротивле­ния R1. Таким образом, под действием импульса запуска VT1 от­крылся, а VT2 закрылся, т. е. произошло опрокидывание ждущего мультивибратора.

Короткие импульсы, необходимые для запуска, либо подаются на вход ждущего мультивибратора непосредственно от источника запускающих сигналов либо формируются с помощью цепи за­пуска из перепадов напряжения, подаваемого на вход устройства. Принцип действия цепи поясняют временные диаграммы, пред­ставленные на рис. 7,б.

Конденсатор С3 заряжается под действием высокого напряже­ния, подаваемого на вход в момент t=0. Поскольку диод VD в это время закрыт, положительный импульс, сформированный це­пью R3, С3 в базу транзистора VT2 не проходит, а замыкается через резистор R3. В момент t=t₁, когда на входе действует от­рицательный перепад напряжения, конденсатор С3 разряжается через открытый диод VD и входную цепь транзистора VT2, так как сопротивление резистора R3 выбирается много больше сум­мы сопротивлений открытого диода и входного сопротивления от­крытого транзистора. При этом образуется импульс обратного ба­зового тока, обеспечивающий быстрое закрывание VT2. Дальней­ший временной ход процессов в устройстве поясняют диаграммы, приведенные также на рис. 7,б. Итак, в момент t₁ под действием входного токового импульса транзистор VT2 закрывается.

Квазиустойчивое состояние. После отпирания VT1 в момент t₁ к эмиттерному переходу VT2 прикладывается обрат­ное напряжение U_{Б 2} = U_{КЭ НАС 1} – U_С2 (напряжение между базой и эмиттером транзистора VT2 определяется суммированием напря­жений вдоль внешнего по отношению к VT2 контура при обходе его от базы к эмиттеру).

Остаточное напряжение U_{КЭ НАС 1} на коллекторе насыщенного транзистора мало по сравнению с U_С2, поэтому, пренебрегая им, считают, что все напряжение U_С2 через открытый транзистор VT1 прикладывается к базе VT2, т. е. U_{Б 2} = - U_С2. Это напряжение удерживает транзистор VT2 в закрытом состоянии и после окон­чания импульса запуска. Ждущий мультивибратор в течение это­го времени находится в квазиустойчивом состоянии.

В этом состоянии конденсатор С2 перезаряжается частью коллекторного тока транзистора VT1, протекающего по цепи: конденсатор С2, резистор R2, источник Ек. В процессе перезаряда напряжение на конденсаторе изменяется от значения U_С2 = - E_K, стремясь к величине U_С2 = E_K. В соответствии с изменением напря­жения на конденсаторе меняется и напряжение U_{Б 2} на базе тран­зистора VT2. В момент времени t=t₂ напряжение на переза­ряжающемся конденсаторе С2 достигает порогового значения. Так как это напряжение приложено к базе VT2, то транзистор VT2 открывается и на его коллекторе вновь устанавливается низкое напряжение U_{КЭ НАС 2}. Вследствие этого транзистор VT1 закрыва­ется. Конденсатор C1 ускоряет процессы открывания и закрывания транзистора VT1 так же, как это происходит в транзисторном ключе с форсирующей емкостью. Таким образом, в момент t₂ про­исходит обратное опрокидывание ждущего мультивибратора, и ус­тройство возвращается в устойчивое состояние. На выходе (на коллекторе VT2) возникает импульс, длительность которого равна времени пребывания ждущего мультивибратора в квазиустойчи­вом состоянии, которое определяется временем перезаряда кон­денсатора С2 от напряжения Ек - U_{БЭ НАС 2} до напряжения U_П.

Восстановление. После возвращения в момент t₂ уст­ройства в устойчивое состояние начинается процесс восстановле­ния, в ходе которого устанавливаются напряжения, соответствую­щие исходному состоянию. Часть базового тока транзистора VT2, замыкаясь по цепи конденсатор С2, резистор Rк1 источник Ек, за­ряжает конденсатор С2. По мере роста напряжения U_С2 уменьша­ются зарядный ток, падение напряжения на резисторе Rк1 и напряжение U_К1 приближается к установившемуся значению Ек.

Следующий запуск устройства можно производить после того, как U_{К 1} = U_{С 2} приблизится к Ек с высокой точностью. В против­ном случае, если U_{С 2} окажется к моменту запуска существенно меньше Ек, то напряжение на базе транзистора VT2 будет сни­жаться с меньшего значения и, следовательно, раньше до­стигает нуля, раньше откроется транзистор, так как уменьшится длительность импульса t_И.

Проведенный анализ процессов, происходящих в ждущем мультивибраторе, позволяет сделать вывод о том, что он имеет все необходимые элементы релаксационного генератора: конден­сатор С2 выполняет роль накопителя энергии, которая рассеивается затем в результате разряда конденсатора; транзистор VT1, управ­ляемый по цепи обратной связи, переключает С2 с заряда на раз­ряд, т. е. служит коммутатором.

 

Длительность формируемого импульса равна времени, в тече­ние которого напряжение на базе закрытого транзистора VT2 из­меняется от исходного значения Eк в момент t₁ до значения Un в момент t₂ вследствие перезаряда конденсатора С2. Для инженерных расчетов принимают, что длительность выходного импульса равна:

t_И ≈ 0,7* R2* C2

 

Температурная нестабильность длительности импульса опреде­ляется в основном температурной нестабильностью входной харак­теристики транзистора и зависимостью / _КЭ0 от температуры.

При увеличении температуры входная характеристика кремние­вого транзистора смещается влево примерно на 2 мВ/ t °С. Это ведет к уменьшению Un, а значит, и длительности импульса. С другой стороны, ток / _КБ0 составляет часть разрядного тока конденсатора. С ростом температуры этот ток растет, что ведет к увеличению разрядного тока конденсатора. При этом напряжение на базе VT2 увеличивается с большей скоростью и раньше достигает Un. В ре­зультате длительность импульса также уменьшается. Поскольку основная составляющая тока разряда конденсатора замыкается через резистор R2, то с уменьшением сопротивления уменьшает­ся доля тока / _КБ0 в общем разрядном токе, в этом случае влия­ние нестабильности тока / _КБ0 на длительность импульса будет меньше.

Время восстановления обусловлено процессом заряда конден­сатора С2, который начинается вслед за обратным опрокидывани­ем. Заряд конденсатора осуществляется током от источника Ек, протекающим через резистор R_К1, и происходит по экспонен­циальному закону с постоянной времени раной R_К1 * С2. По такому же закону изменяется напряжение на коллекторе первого транзисто­ра от начального значения U_{КЭ НАС} до значения, близкого к Ек.

Следующий запуск можно производить после того, как U_С2 приблизится к установившемуся значению Ек - U_{БЭ НАС 2} с высо­кой точностью. В противном случае напряжение на базе транзис­тора VT2 будет нарастать с меньшего значения и, следова­тельно, раньше достигнет значения Un и откроется раньше VT2, т. е. уменьшится длительность t_И формируемого импульса. Время восстановле­ния принимают равным значению:

t_ВОСС = (4…5) * R_К1 * С2.

Период следования им­пульсов запуска ждущего мультивибратора должен удовлетворять условию

T_ЗАП ≥ t_И + t_ВОСС.

 

Амплитуда выходного импульса равна разности уровней напря­жения на коллекторе транзистора VT2 в закрытом и открытом со­стоянии. Когда транзистор VT2 открыт, U_{К 2} = U_{К 2 НАС}. В закрытом состоянии через R2 протекает ток базы насыщенного транзистора. Тогда в отсутствие нагрузки амплитуда выходного импульса:

U_M ≈ Ек.

 

ГЛИН СО СТАБИЛИЗАТОРОМ ТОКА

В отличие от рас­смотренных выше схем в стабилизатор тока вводится обратная связь не по напряжению, а по току, что позво­ляет повысить внутреннее сопротивление стабили­затора. Эквивалентная схема ГЛИН (рис. 18) со­держит идеальный источник тока /, параллельно кото­рому включено внутреннее сопротивление переменному току R.

 

 

 

Рис. 18.

 

 

В ГЛИН со стабилизатором тока можно получить малые коэффициенты нелинейности.

Практическая схема ГЛИН со стабилизатором тока на транзисторе VT показана на рис. 19.

 

 

Рис. 19.

 

Конденсатор С заряжается коллекторным током транзистора. Отрицательная обратная связь по току создается за счет сопротивления Rэ. При большой глубине обратной связи, внут­реннее сопротивление стабилизатора Ri будет опреде­ляться выходной проводимостью транзистора в схеме «общая база» и может достигать значений 10⁶ - 10⁸.

Общий недостаток схем ГЛИН со стабилизатором тока — плохая нагрузочная способность, поскольку со­противление нагрузки оказывается включенным парал­лельно Ri и увеличивает коэффициент нелинейности.

 

IV. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

 

По способу представления информации системы связи делятся на аналоговые и цифровые. Общие принципы построения таких систем и их особенности изучаются в соответствующих курсах. Цифровые системы в недалеком будущем займут главенствующее положение. Они состоят из импульсных и вычислительных устройств, осуществляющих усиление, генерирование, формирование, преобра­зование импульсных сигналов, используемых в системе. Вычислительные устройства выполняют функции хранения и обработки цифровой информации, преобразования информации из аналоговой формы представления в цифровую, и наоборот.

Система изображения любых чисел с помощью огра­ниченного числа символов называется системой счисле­ния. Используемые в системе счисления символы назы­ваются цифрами.

Существуют различные системы счисления, и от их особенностей зависит наглядность представления числа при помощи цифр и сложность выполнения арифметиче­ских операций. Если в системе счисления каждой цифре в любом месте числа соответствует одно и то же значе­ние — количественный эквивалент, то такая система счисления называется непозиционной. Таким образом, для непозиционных систем счисления местоположение цифры в записи числа не играет никакой роли.

Примером непозиционной системы счисления являет­ся римская система, в которой используются римские цифры I, V, X, L, С, М. Соответственно значение числа, например, CCXXIV вычисляется следующим образом: С=100, Х=10, V=5, I=1. При этом вес цифры не за­висит от ее местоположения в записи числа, а знак за­висит. Если цифра с меньшим весом стоит слева от циф­ры с большим весом, то ее знак —, а если цифра с мень­шим весом стоит справа от цифры с большим весом то ее знак +. Общим недостатком непозиционных систем счисления являются трудности записи в таких системах больших чисел и трудности выполнения арифметических операций, поскольку для этого используются громоздкие правила. Поэтому в цифровой технике непозиционные системы практически не нашли применения.

В цифровой технике используются позиционные си­стемы счисления. Система счисления называется пози­ционной, если одна и та же цифра имеет различное зна­чение, которое определяется ее позицией в последова­тельности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции цифры по некоторому закону.

В десятичной системе основание р=10 и для записи чисел используется десять цифр: 0, 1, 2,..., 9. Каждая цифра числа занимает в нем определенный разряд, ко­торый имеет весовые коэффициенты для разрядов влево от запятой 10⁰, 10¹, 10²... и вправо от запятой 10^-1, 10^-2, 10^-3,...

Позиционные системы счисления имеют ряд преиму­ществ перед непозиционными. Основным преимущест­вом следует считать удобство выполнения таких ариф­метических операций, как сложение, вычитание, умно­жение, деление, извлечение корня и др. Поэтому в циф­ровой технике, как правило, применяются позиционные системы счисления. Выбор основания системы счисления зависит от физических элементов, на основе которых строится то или иное устройство. В цифровой технике широко используются элементы с двумя устойчивыми состояниями. В этих элементах различие между отдель­ными фиксированными состояниями носит качественный, а не количественный характер, благодаря чему пред­ставление чисел с их помощью может быть реализовано значительно надежнее, чем с помощью элементов, в ко­торых число четко различимых состояний превышает два. В частности, выполнение элемента с десятью четко раз­личимыми состояниями представляет собой сложную техническую задачу. Указанное обстоятельство явилось одной из главных причин распространения в цифровой технике позиционных систем с недесятичным основани­ем, в первую очередь двоичной, а также восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Наибольшее распространение в цифровой технике имеет двоичная система счисления. В этой системе ис­пользуются только две цифры: 0 и 1. В двоичной си­стеме любое число может быть представлено последова­тельностью двоичных цифр:

N₂=a_m a_m-1 a_m-2……a₀ a_-1 a_-2,

где а_i, принимает значение либо 0, либо 1. Эта запись соответствует сумме степеней числа два, взятых с ука­занными в ней коэффициентами:

N₂= a_m 2^m+a_m-1 2^m-1+a_m-22^m-2+….+a₀ 2⁰+a_-1 2^-1+a_-12^-2…

Вес разрядов, отсчитываемых влево от запятой, в целой части числа равен соответственно 1, 2, 4, 8, 16,.... вес же разрядов правее запятой в дробной части будет ½, ¼, и т.д. Например, число 11010,11₂ соответствует сле­дующему количеству:

11010,112= 1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+0*2⁰+1*1/2+1*1/4

которое, как следует из приведенного разложения его по степеням числа 2, равно десятичному числу 26,75₁₀. В восьмеричной системе счисления употребляется восемь цифр: 0, 1, 2,..., 7. Любое число в восьмеричной системе представляется последовательностью"

N₈=b_m b_m-1 b_m-2……b₀ b_-1 b_-2,

в которой цифры b_i могут принимать значения от 0 до 7. Вес разрядов целой части 1, 8, 64, 256,..., в дробной ча­сти 1/8, 1/64, 1/256. Например, восьмеричное число 756,2:

756,25₈ = 7* 8² + 5*8¹ + 6* 8⁰ + 2.8^-1

равно десятичному числу 494, 328125₁₀.

В шестнадцатеричной системе счисления для изобра­жения чисел употребляется 16 цифр: 0... 15. При этом, чтобы одну цифру не изображать двумя символами, приходится вводить специальные обозначения для цифр больше девяти. В качестве шести символов обычно ис­пользуются буквы латинского алфавита А, В, С, D, Е, F, которым в десятичной системе соответствуют числа 10, 11, 12, 13, 14, 15. Таким образом, шестнадцатеричное число А7В,C8 соответствует следующему количеству:

A7B,C8₁₆= 10*16²+7*16¹+11*16⁰+12*16^-1+8*16^-2, равному десятичному числу 2683,78125₁₀.

 

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ

Основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисле­ния выражаются целой степенью двух (8=2³, 16=2⁴). Этим объ­ясняется простота преобразования чисел, представленных в этих системах, в двоичную систему счисления и обратно.

Для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную достаточно каждую цифру восьмеричного числа пред­ставить трехразрядным двоичным числом. Например,

762,35₈=111 110 010, 011 101₂.

Перевод шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисле­ния достигается представлением цифр шестнадцатеричного числа четырехразрядными двоичными числами. Например,

А7В, С7₁₆=1010 0111 1011, 1100 0111₂ .

При обратном переводе чисел из двоичной системы в восьме­ричную или шестнадцатеричную системы счисления необходимо разряды двоичного числа, отсчитывая их от запятой влево и впра­во, разбить на группы по три разряда в случае перевода в вось­меричную систему или на группы по четыре разряда в случае пе­ревода в шестнадцатеричную систему счисления. Неполные край­ние группы дополняются нулями. Затем каждая двоичная группа представляется цифрой той системы счисления, в которую пере­водится число.

Большую сложность представляет перевод чисел из десятич­ной в двоичную и обратно. Метод, используемый для такого пере­вода, зависит от системы счисления, в которой проводятся ариф­метические операции, необходимые для перевода числа из одной системы счисления в другую. Если перевод осуществляется вруч­ную, то очевидно, операции будут выполняться в десятичной си­стеме счисления, если цифровым устройством, то арифметические операции будут выполняться над числами, представленными в двоичной системе счисления. Целая часть числа преобразуется точно, дробная часть — при­ближенно.

 

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Основной операцией, которая используется в цифровых уст­ройствах при выполнении различных арифметических действий, является алгебраическое сложение (сложение, в котором могут участвовать как положительные, так и отрицательные числа). Вычитание легко сводится к сложению путем изменения знака вычитаемого на обратный. Операции умножения и деления так­же сводятся к сложению и некоторым логическим действиям. По­этому именно с операции сложения начнем рассмотрение способов выполнения арифметических операций.

При записи кода числа будем знак числа представлять 0 (для положительных чисел) и 1 (для отрицательных чисел). Именно такими цифрами в устрой­ствах, предназначенных для хранения чисел, принято фиксировать знак числа в специально выделяемых так называемых знаковых разрядах. Положение запятой в числе показывать не будем.

 

Сложение положительных чисел.

Сложение чисел в двоичной системе счисления выполняется на основе таблицы двоичного сложения:

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Двузначная сумма в последнем случае означаете что при сложении двух двоичных цифр, равных 1, в каком-либо разряде двоичного числа возникает перенос в со­седний старший разряд. Этот перенос должен быть при­бавлен к сумме цифр, образовавшейся в соседнем раз­ряде.

При сложении двух многоразрядных двоичных чисел цифры разрядов суммы формируются последовательно, начиная с младшего разряда. Цифра младшего разряда суммы образуется суммированием цифр младших раз­рядов слагаемых. При этом кроме цифры разряда сум­мы формируется цифра переноса в следующий, более старший разряд, если оба младших разряда единицы. Таким образом, в разрядах, начиная со второго, могут суммироваться три цифры: цифры соответствующего разряда слагаемых и перенос, поступающий в данный разряд из предыдущего. Этот перенос равен 1 во всех случаях, когда результат суммирования цифр в разряде равен или больше 2, поскольку 2 является основанием системы счисления. При этом в разряд суммы записыва­ется цифра, на две единицы меньшая результата суммирования.

Пример сложения двух многоразрядных двоичных чисел:

1101101 — первое слагаемое

+

1001111 — второе слагаемое

0100010 — поразрядная сумма без учета переносов

+

1 11 1 — переносы

10111100— окончательная сумма.

Непосредственно под двумя слагаемыми записан ре­зультат поразрядного сложения без учета переноса. В тех разрядах, в которых оба слагаемых равны едини­це, поразрядная сумма равна 0. В этих разрядах обра­зовался перенос в соседний старший разряд, который от­мечен в следующей строке. В результате сложения стро­ки поразрядных сумм со строкою переносов получается окончательная сумма. При сложении подразрядной сум­мы с переносами удобно пользоваться следующим пра­вилом: если в результате поразрядного суммирования образовалась группа единиц, расположенных рядом, и в младший разряд этой группы поступает перенос 1, то он переводит все единицы этой группы в нули, а ближай­ший за рядом единиц 0 - в 1.

 

Вычитание двух чисел в двоичной системе выполняется на основе таблицы двоичного вычитания

0-0=0,

1-0= 1,

1-1=0,

10-1 = 1.

Если при поразрядном вычитании приходится вычитать из нуля в уменьшаемом единицу в вычитаемом, то делается заем в соседнем старшем разряде, т.е. едини­ца старшего разряда представляется как две единицы данного разряда. Вычитание в этом случае выполняется в соответствии с таблицей. Если в соседнем разряде или в нескольких старших разрядах стоят нули, то заем де­лается в ближайшем старшем разряде, в котором стоит единица. Эта единица представляется в виде суммы числа, состоящего из единицы во всех промежуточных раз­рядах, в которых находились нули, и двух единиц в дан­ном разряде. Далее производится поразрядное вычита­ние в соответствии с таблицей. Естественно, что необхо­димости в дополнительном заеме во всех промежуточных разрядах появиться не может.

В цифровой технике операция вычитания с использо­ванием заема практически не применяется (за исключе­нием отдельных устройств) и реализуется как алгеб­раическое сложение с применением специальных кодов для представления отрицательных чисел. При этом опе­рация вычитания сводится к операции простого арифме­тического сложения при помощи обратного и дополни­тельного кодов, используемых для представления отри­цательных чисел.

Обратный код отрицательных двоичных чисел может быть сформирован по следующему правилу: цифры всех разрядов, кроме знакового, заменяются на обратные (инвертируются) — единицы заменяются нулями, а нули единицами. В знаковый разряд ставится единица. Обрат­ное преобразование из обратного кода в прямой произ­водится по тому же правилу. При использовании обрат­ного кода операция вычитания реализуется как арифметическое сложение положительного числа, пред­ставленного в прямом коде, с отрицательным числом, представленным в обратном коде. Например, при вычи­тании из числа 0 10110 числа 1 01101 уменьшаемое пред­ставляется как положительное число в прямом коде 0 10110, а вычитаемое — как отрицательное число в обратном коде 1 10010. В представлении чисел знаковые разряды выделены подчеркиванием. При выпол­нении операции арифметического сложения над этими числами получаем алгебраическую сумму:

0 10110 — первое слагаемое в прямом коде,

+

1 10010 — второе слагаемое в обратном коде,

+

10 01000

1

0 01001 — сумма в прямом коде.

Перенос, возникающий из знакового разряда, при использовании обратного кода должен прибавляться в младший разряд суммы. В данном примере уменьшае­мое по модулю больше вычитаемого, поэтому алгебраи­ческая сумма положительная и представлена в прямом коде. Если уменьшае­мое по модулю меньше вычитаемого результатом сложения будет отрицательное число и оно будет представлено в обратном коде.

 

Дополнительный код отрицательных двоичных чисел может быть сформирован по следующему правилу: циф­ры всех разрядов, кроме знакового, инвертируются, и в младший разряд прибавляется единица. Дополнитель­ный код может быть получен и из обратного путем при­бавления единицы к младшему разряду обратного кода. При этом в знаковый разряд отрицательного числа в до­полнительном коде ставится единица. Обратное преоб­разование из дополнительного кода в прямой произво­дится по тому же правилу.

При использовании дополнительного кода для вычи­тания двоичных чисел из предыдущего примера получим:

0 10110 — первое слагаемое в прямом коде,

+

1 10011 — второе слагаемое в дополнительном коде,

0 01001 — сумма в прямом коде.

 

При сложении складываются цифры знаковых раз­рядов с отбрасыванием возникающего из этого разряда переноса. Алгебраическая сумма, полученная в результате сложения, является положительным числом и по­этому представлена в прямом коде. Если уменьшае­мое по модулю меньше вычитаемого результатом сложения будет отрицательное число и оно будет представлено в дополнительном коде.

 

 

Умножение двоичных многоразрядных чисел включа­ет в себя две операции — определение знака произведения и определение его абсолютной величины. Знаковый раз­ряд может быть получен суммированием цифр знаковых разрядов сомножителей без формирования переноса:

0+0=0,

0+1=1,

1+0=1,

1+1= 0 - без формирования переноса.

При несовпадении цифр получается 1, что соответст­вует знаку произведения двух сомножителей с разными знаками.

Абсолютная величина значения произведения опре­деляется путем перемножения чисел без учета их зна­ков. Перемножение многоразрядных двоичных чисел производится на основе таблицы двоичного умножения

0х0=0,

0х1=0,

1х0=0,

1х1=1.

При умножении двух двоичных чисел множимое по­следовательно умножается на каждую цифру множите­ля, начиная либо с младшей, либо со старшей, и для учета веса соответствующей цифры множителя сдвига­ется либо влево, если умножение производится, начиная с младшего разряда множителя, либо вправо, если ум­ножение производится, начиная со старшего разряда множителя, на такое число разрядов, на которое соот­ветствующий разряд множителя сдвинут относительно младшего или старшего разряда.

Получающиеся в результате умножения и сдвига частичные произведения после суммирования дают пол­ное произведение. Особенность умножения двоичных чисел состоит в том, что частичное произведение может быть либо сдвинутым на соответствующее число разря­дов множимым, если соответствующая цифра множите­ля равна 1, либо нулем, если соответствующая цифра множителя равна 0:

10111 — множимое,

*

1101 — множитель

10111 — первое частичное произведение

00000 — второе частичное произведение

10111 — третье частичное произведение

10111 — четвертое частичное произведение

100101011 —- произведение

Тот же результат можно получить при умножении, начиная со старших разрядов множителя и сдвигая частичные произведения вправо.

В цифровых устройствах процессу суммирования час­тичных произведений придают последовательный харак­тер: формируется одно из частичных произведений, к не­му с соответствующим сдвигом прибавляется следующее частичное произведение, к полученной сумме прибавля­ется с соответствующим сдвигом очередное частичное произведение, и т. д., пока не окажутся просуммирован­ными все частичные произведения и не будет получено полное произведение.

При таком методе все частичные произведения сум­мируются с требуемыми сдвигами друг относительно друга, благодаря чему образуется ранее приведенный результат умножения этих чисел.