Центральная граничная теорема. Интегр. теорема Муавра-Лапласса и её отдельные случаи

ЦГТ: Если все СВ одинаково распределены, то закон распределения их суммы при n стримящ. к бесконечност неограниченно приближается к нормальному.

М-Л..Для биноминально распред. ДСВ Х=m-частоты появления события А с вер. Р в серии из n НПВ справедлива формула

P(m1<=m<=m2)=Ф(t2)-Ф(t1)

Ф(t)-интегр.ф-ция Лапласа t1=m1-np/кор.(npq)

Частные случаи

Ждя частоты m и частости m/n появления события А с вероятностью р в серии из n НПВ справедливы формулы

P(|m-np|<ε)=2Ф(ε/кор(npq))

P(|m/n-p|<ε)=2Ф(ε* кор.(n/pq)

Неравенство Маркова

Если СВ принимает только неотрицательные значения и имеет фиксированное мат.ожидание,то для любого положительного числа α справедливо неравенство

P(X>=α)<=M(X)/α или

Р(Х< α)>1-M(X)/ α

Доказательство:

М(Х)=∫₀^∞хf(x)dx>=∫_α^∞xf(x)dx>= α ∫ _α^∞f(x)dx= αp(x>=α)

Неравенство Чебышева и его следствия

Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа e справедливо неравенство

P(|X-M(X)|>=ε)<=D(x)/ε^2

Нерав. Справедливо как для дискретных.так и для непрерывных СВ

Доказательство: α= ε²

(|Х-M(X)|)²>= ε²

|Х-M(X)|>= ε

P(|Х-M(X)|)<= M(|Х-M(X)|)²/ ε² и следовательно P(|X-M(X)|>=ε)<=D(x)/ε^2

Следсвие

P(|X-M(X)|<ε)>1-D(x)/ε^2

Теоремы Чебышева и Бернулли.Дополнение Ляпунова

Т.Чебышева..Если все дисперсии последовательности попарно независимых СВ Х1,..,Хn,..не превышают некоторого положительного числа,то при n→ω практически достоверным можно считать событие.которое состоит в том,что модуль отклонения ср.арифм. СВ от ср.арифм. их мат.ожиданий будет величиной бесконечно малой,т.е

Lim P((X1+..+Xn)/n-(a1+..+an)/n)<=ε)=1

Смысл теоремы закл. в том, что при большом кол-ве независимых СВ, дисперсии кот. ограничены в совокупности,их средняя арифм. практически теряет характер СВ и как угодно мало отличается от постоянной величны

Т.Бернулли. Часть m/n события А в серии из n НПВ при n→ω по вероятности к р=Р(А)-вероятность появления события в каждом отдельном испытании

Lim P(|m/n-p|<ε)=1 для ε>0 или m/n→p

Т.Ляпунова.Если Х1,…,Хn,..-независимые СВ,у каждой из которых есть мат.ожидания аі=M(Xi),дисперсии σi=D(Xi),абсолютные центральные моменты третьего порядка mi=M(|Xi-ai|^3) и выполняется условие Lim (∑mi/∑σi^2)=0, тогда закон распределения суммы Х1+…+Хn при n→ω неограниченно приближается к нормалтьному с мат.ожиданием а=∑ai и дисперсией σ^2=∑σi^2

22.Точковые оценки выборкиТочковые оценки параметров распределения-случайные величины.их можно считать первичным результатом обработки выборки,т.к неизвестно с какой точностью каждая из них оцениваетсоотве

тствующую числовую хар-кугенеральной совок. Если обьем выборки достаточно велик, то точковые оценки удовлетворяют практические потребности точности. Если же обьем выборки малый, то точковые оценки могут даватьзначтельныеошибки, вопрос точности оценивания в этом случае очень важен и необходимо исп. тогда интерв.оценки

23.Интервальные оценки выборки.Интерв.называют оценку,которая определяется 2мя числами-концами интервала.Интерв.оценка позволяетопределить точность и надёжностьоценок.

∆-граничная ошибка выборки,хар. точность оценки

µ-страндарт выборки

µ=√σ^2/n в повторной выборке

µ=√σ^2/n(1-n/N) в безповторной

при оценивании доли кач.признака

µ=√pq/n в повторной

µ=√pq/n(1-n/N) =√w(w-1)/n(1-n/N) в безповторной

3 типа задач

1)найти вероятность

2)найти ошибку в выборке,предельные оси

3)найти оббьем выборки n-?

24. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ— понятие математической статистики, процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы относительно природы или величины неизвестных статистических параметров анализируемого явления (“статистической гипотезы”) с имеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными (см. Выборка).

С. п. г. проводится с помощью статистического критерия по общей логической схеме, включающей нахождение конкретного вида функции от результатов наблюдения (критической статистики), на основании которой принимается окончательное решение.Результат проверки может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе), либо неотрицательным. В первом случае гипотеза ошибочна, во втором ее нельзя считать доказанной: просто она не противоречит имеющимся выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с ней обладать и другие гипотезы.

Крит.область-множество возможніх значений критерия,при кот.основная гіпотеза отклоняется.

Обдасть допуст.значений-множество возможніх значений критерия,при кот.основная гіпотеза принимается

Критерий Пирсона.Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения.Правило Пирсона

1)предположить что имеет место опред.закон распределения,найти его параметры и записать этот закон

2)вычислить по закону теорет.частоты miT для каждой варианты Xi

3)вычислить значение критерияпо формуле х^2набл.=∑(mi-miT)^2/miT

4)найти по таблице критическю точку Х^2кр=X^2(a;k)

5)сравнить Хкрит. и Хнабл.Если Хнабл<Xкр,то гипотеза принимается

 

 

25. Классическое определение вероятности. Свойства. Вероятность событие А: , где n- число событий в простанстве элементарных событий, а m- число следствий, кот. Способствуют появлению события А.Свойства: 1.0<=P(A)<=1 2.достоверное событие P(U)=1 5163. невозможное P(V)=0

1. Теорема умножения

Теорема суммы

Полная вероятность

Формула Байеса

Формула Бернулли

Наивероятнейшаячастота

Формула Пуассона

Мат ожидание, дисперсия, и

Среднее квадратич.

Отклонение частоты

И частости

Мат ожидание

Дисперсия

Метод моментов

Интергральная ф-ция

Дифференциальная ф-ци

Равномерное распределение

Показательное распределение

Нормальное распределение

Попадание в промежуток

Правило 3х сигм