Электрическая цепь с емкостью

Элементом электрической цепи, обладающей значительной емкостью, является конденсатор. Конструктивно конденсатор представляет собой две пластины с большой (по сравнению с зазором между пластинами) поверхностью, разделенные между собой диэлектриком. Емкость С конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциала между ними в 1В. Размерность емкости С – (Ф, фарад).

1мкФ=10^-6Ф (микрофарада)

1пФ=10^-12Ф (пикафарада)

1нФ=10^-9Ф (нанафарада).

Зазор в конденсаторе не является препятствием для прохождения переменного тока, так как синусоидальное напряжение периодически меняется по направлению, следовательно, так же непрерывно меняется заряд на обкладках конденсатора (конденсатор перезаряжается).

Реально емкостью обладают любые два проводника, расположенные недалеко друг от друга, но при малой поверхности (по сравнению с зазором) их емкость не велика и ею пренебрегают.

В простейшем случае рассматривают идеальный конденсатор с емкостью С =const, его сопротивление R= 0, индуктивность L= 0.

Пусть к цепи с конденсатором, емкость которого С, приложено синусоидальное напряжение u = U_msinωt. Под действием этого напряжения в цепи создается синусоидальный ток i и на каждой пластине скапливается заряд Q=Cu_c, где u_c – падение напряжения на конденсаторе.

Рис.15

Выбираем условные положительные направления тока, напряжения и ЭДС. По второму закону Кирхгофа u=u_c, тогда заряд на конденсаторе Q=Cu_c=СU_m sinω t.

Ток в цепи представляет собой изменение заряда во времени:

i=dQ/dt=ωCU_mcos ωt=ωCU_msin(ωt+π/2), i=I_msin(ωt+π/2), I_m=U_m /(1/ωC).

Таким образом, ток в цепи с конденсатором так же изменяется по синусоидальному закону и опережает напряжение на угол π/2 (рис.16).

Знаменатель 1/ ω C имеет размерность сопротивления – это емкостное сопротивление х_с:

.

Следовательно получаем

I_m = U_m/x_с –для амплитудного значение тока;

I = U/x_с –для действующего значения тока.

В комплексной форме:

U =Ue^{j 0} = U,

I =Ie ^jπ/2=jI.

Индуктивное сопротивление в комплексной форме

– отрицательное мнимое число.

 

 

 

На векторной диаграмме вектор напряжения отстает от вектора тока на угол π/2 (рис.17).

 

Рис.17

 

 

Электрическая цепь при последовательном соединение r, L и С элементов

 

 

 

Рис.18

 

К электроцепи (рис.18) подводится напряжение u, под действием которого по цепи течет ток i = I_msinωt.

По второму закону Кирхгофа запишется уравнение:

,

где ; .

В показательной форме ,

где и определяются из треугольника сопротивлений (рис.19).

 

 

Рис.19

 

, так как ψ_i =0.

, U=zI

Мгновенное значение напряжения u=U_msin(ωt+φ).

Вывод: напряжение опережает ток на фазный угол φ.

В зависимости от соотношения сопротивлений Х_L и X_C цепь имеет характер:

а) индуктивный, если Х_L > X_C, при этом φ >0;

б) емкостный, если Х_L < X_C,при этом φ<0

в) резонанс, если Х_L = X_C, при этом φ=0.

На рис. 20 приведены векторные диаграммы напряжений и синусоиды напряжений и токов, соответствующие трем выше изложенным режимам.

 

 

Рис.20

 

 

Резонансные явления

 

Под резонансом понимают явление резкого возрастания амплитуды колебания, когда частота внешнего возмущения и силы совпадает с частотой собственных колебаний системы.

Имеем цепь, которая кроме активного сопротивления содержит и реактивные составляющие. Несмотря на это цепь, имеет активный характер, то есть ток и напряжение совпадают по фазе. Тогда в этой цепи наблюдается резонанс.

 

Условия резонанса:

 

i=I_m sinω t, u=U_m sin(ω t+ φ), I =I, U =Ue^jφ, Z =Ze^jφ=R+j(x_L-x_C)=R+jx.

При резонансе: x_L=x_C, ωL=1/ωC, x_L-x_C= 0, x=0, φ=0

При резонансе полное комплексное сопротивление является вещественным числом Z=R.

Для проводимости: Y =Ye^-jφ=g-j(b_L-b_C)=g-jb, где b_L=b_C, b= 0, φ=0, Y=g.

 

 

Резонанс напряжений.

 

Резонанс напряжений возможен в цепях с последовательно соединенными катушкой индуктивности и конденсатором.

Если x_L=x_C, то есть ω₀ L= 1 / ω₀ C, где ω₀ – резонансная частота или собственная частота цепи.

, - волновое сопротивление.

- характеризует насколько резко выражено явление резонанса в цепи.

- добротность определяет во сколько раз напряжение на каждом реактивном из реактивных элементов больше, чем подведенное к цепи напряжение.

Q – определяет качество конура.

Q=200-500 для радиотехнических контуров.

Так как сопротивление и напряжение находятся в прямо пропорциональной зависимости, то U_L=U_C, отсюда название – резонанс напряжений. Напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности взаимно компенсируют друг друга при резонансе, причем эти два напряжения при резонансе больше чем напряжение источника.

Для действующих значений:

U_L=x_LI, U_C=x_CI, U_R=RI

При резонансе

U_L=ρI, U_C=ρI, U= rI,

, если ρ ›› R, то U_L и U_C ›› U

Добротность Q определяет качество контура. Для радиотехнических контуров Q =200~500. Добротность Q определяет во сколько раз напряжение на каждом реактивном элементе больше чем напряжение, подведенное к цепи.

Ток при резонансе имеет максимальное значение. Так как сопротивление цепи определяется только активной составляющее, следовательно, минимально, а как известно сопротивление и ток находятся в обратно пропорциональной зависимости.

I=U/R

При резонансе происходит взаимный обмен энергией между катушкой и конденсатором. Поэтому реактивная составляющая мощности равна нулю. Коэффициент мощности при резонансе имеет максимальное значение.

Резонанс токов.