Однофазные электрические цепи переменного тока

Правила построения векторных диаграмм

 

1. Любую синусоидально изменяющуюся во времени величину (ЭДС, напряжение, ток) можно представить в виде вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде, а угловая скорость угловой частоте этой синусоидальной величины.

2. Начальное положение вращающегося вектора определяется углом, равным начальной фазе синусоидальной величины и откладываем от положительного направления оси O в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

3. В одних и тех же осях можно представить векторы всех ЭДС, действующих в данной цепи, напряжений на всех участках данной цепи и токов во всех ее ветвях (в заданных масштабах).

4. Так как синусоидальные величины имеют одинаковую частоту, то изображающие их векторы вращаются с одинаковой скоростью. Их взаимное положение на плоскости, относительно друг друга, остается неизменным. Поэтому на практике векторы не вращают, а строят их, соблюдая углы между векторами (углы сдвига фаз).

5. Отказавшись от вращения вектора можно строить векторы не только максимальных, но и действующих значений.

6. Вектора можно складывать, по правилу параллелограмма, получив при этом суммарный вектор (рис. 4).

 

 

Рис.4

 

7. В связи с отсутствием необходимости вращения нас интересует только взаимное расположение векторов, один из которых можно строить по направления оси OX, остальные вектора направляются относительно этого вектора (рис.5).

Например, если к элементам электрической цепи подается переменное напряжение u=U_m sin(ωt+ψ_u), то возникнет переменный ток i=I_m sin(ωt-ψ_i). В этом случае ток отстает от напряжения по фазе на угол φ=ψ _u -ψ _i. Начальные фазы ψ _u и ψ _i на векторной диаграмме не изображают, так как взаимное положение векторов определяется полностью разностью фаз - φ. Принимаем начальную фазу тока равную нолю (ψ _i =0), тогда начальная фаза напряжения ψ _u равна сдвигу фаз - φ.

 

 

 

	Рис.5

 

 

 

 

Графический метод расчета является грубым неточным. На практике переходят к точным математическим методам расчета на основе теории комплексных чисел.

Понятия о комплексных числах

 

Комплексная плоскость - прямоугольная системе координат, на которой по одной оси откладываются вещественные числа + 1, на другой (перпедикулярной) - мнимые числа + j.

 

 

 

 

Здесь j= - мнимая единица.

Действия с мнимой единицей:

1) j ²=-1; 2)

Любую точку на комплексной плоскости можно охарактеризовать комплексным числом. Известно, что комплексное число С имеет вещественную Re и мнимую Im составляющие.

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

С =а + jв,

где а = Аcosα – реальная часть комплексного числа,

в = Аsinα – мнимая часть, γ =arctg - фаза,

с= - модуль комплексного числа.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

С =с(cosγ+jsinγ).

 

Показательная форма записи комплексного числа:

, где - оператор поворота (поворотный множитель).

cosγ + jsinγ = - формула Эйлера.

 

Частные случаи:

Для γ= π/2 ;

 

γ= -π/2 ;

γ= π .

Тригонометрическая форма записи служит для перехода из алгебраической формы в показательную и наоборот.

 

Изображение синусоидальных величин с помощью комплексных чисел

 

Синусоидальный ток i=I_m sin(ω t +ψ _i) может быть изображен на комплексной плоскости (рис.7). Величина и направление вектора I_m определяются координатами одной точки комплексной плоскости I_m и этот вектор записывается с помощью комплексного числа:

,

- вектор вращается со скоростью ω против часовой стрелки;

- положение вектора при t=0 (начальное положение).

и можно опустить как постоянные составляющие, тогда получаем комплексное действующее число (комплекс тока) в показательной форме:

 

Рис.7

 

Резонансные явления

 

Под резонансом понимают явление резкого возрастания амплитуды колебания, когда частота внешнего возмущения и силы совпадает с частотой собственных колебаний системы.

Имеем цепь, которая кроме активного сопротивления содержит и реактивные составляющие. Несмотря на это цепь, имеет активный характер, то есть ток и напряжение совпадают по фазе. Тогда в этой цепи наблюдается резонанс.

 

Условия резонанса:

 

i=I_m sinω t, u=U_m sin(ω t+ φ), I =I, U =Ue^jφ, Z =Ze^jφ=R+j(x_L-x_C)=R+jx.

При резонансе: x_L=x_C, ωL=1/ωC, x_L-x_C= 0, x=0, φ=0

При резонансе полное комплексное сопротивление является вещественным числом Z=R.

Для проводимости: Y =Ye^-jφ=g-j(b_L-b_C)=g-jb, где b_L=b_C, b= 0, φ=0, Y=g.

 

 

Резонанс напряжений.

 

Резонанс напряжений возможен в цепях с последовательно соединенными катушкой индуктивности и конденсатором.

Если x_L=x_C, то есть ω₀ L= 1 / ω₀ C, где ω₀ – резонансная частота или собственная частота цепи.

, - волновое сопротивление.

- характеризует насколько резко выражено явление резонанса в цепи.

- добротность определяет во сколько раз напряжение на каждом реактивном из реактивных элементов больше, чем подведенное к цепи напряжение.

Q – определяет качество конура.

Q=200-500 для радиотехнических контуров.

Так как сопротивление и напряжение находятся в прямо пропорциональной зависимости, то U_L=U_C, отсюда название – резонанс напряжений. Напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности взаимно компенсируют друг друга при резонансе, причем эти два напряжения при резонансе больше чем напряжение источника.

Для действующих значений:

U_L=x_LI, U_C=x_CI, U_R=RI

При резонансе

U_L=ρI, U_C=ρI, U= rI,

, если ρ ›› R, то U_L и U_C ›› U

Добротность Q определяет качество контура. Для радиотехнических контуров Q =200~500. Добротность Q определяет во сколько раз напряжение на каждом реактивном элементе больше чем напряжение, подведенное к цепи.

Ток при резонансе имеет максимальное значение. Так как сопротивление цепи определяется только активной составляющее, следовательно, минимально, а как известно сопротивление и ток находятся в обратно пропорциональной зависимости.

I=U/R

При резонансе происходит взаимный обмен энергией между катушкой и конденсатором. Поэтому реактивная составляющая мощности равна нулю. Коэффициент мощности при резонансе имеет максимальное значение.

Резонанс токов.

Коэффициент мощности.

Косинус угла сдвига фаз называется коэффициентом мощности. Он показывает, Какая доля полной мощности составляет активная мощность, или какая доля всей электроэнергии преобразуется в другие виды энергии.

Коэффициент мощности очень важный эксплуатационный параметр электроприемников. Увеличение его приводит к экономии электроэнергии и удешевлению устройств электропередачи.

Когда , то есть (активный режим - резонанс), активная мощность равна полной мощности.

Пример:

Предположим, что мощность и напряжение генератора составляют:

S= 10 кВАр

U= 100 В

Максимально допустимый ток в линии:

I _max=10000/100=100 A

Потребляемая мощность приемника P =1 кВт

а) cosφ=1, I _пр= P/ (U cosφ)=1000/100=10 A – к генератору можно подключить 10 таких приемников;

б) cosφ=0,5, I _пр=1000/(100*0,5)=20 A – к генератору можно подключить 5 таких приемников;

) cosφ=0,1, I _пр=1000/(100*0,1)=100 A – к генератору можно подключить 1 такой приемник.

Приемники с низким коэффициентом мощности загрязняют линии бесполезным реактивным током и снижают коэффициент использования, мощность генераторов – источников используются не полностью.

 

Однофазные электрические цепи переменного тока

 

Основные понятия и определения

Широкое применение в электрических цепях находят периодические ЭДС, напряжения и токи.

Периодические величины изменяются во времени по значению и направлению, причем эти изменения повторяются через некоторые промежутки времени Т, называемые периодом.

На практике подавляющее большинство промышленных источников переменного тока (генераторы электростанций) создают ЭДС, изменяющуюся по синусоидальному закону.

Преимущества такого закона:

а) простота получения;

б) напряжение легко трансформируется;

в) синусоидальная функция является единственной, которая в процессе интегрирования и дифференцирования не меняет своей формы и в процессе передачи и преобразования (в процессе трансформации) напряжения временная зависимость остается неизменной, т.е. синусоидальной.

Любая периодическая величина, изменяющаяся по синусоидальному закону, имеет ряд характерных параметров:

1) период - Т [c];

2) частота - f [Гц].

Величина обратная периоду называется частотой:

.

Частота для всех электроустановок строго нормируется:

- для наземных систем - 50 (60)Гц;

- в авиации - 400Гц;

- космические летательные аппараты - 1000Гц.

Увеличение частоты позволяет уменьшить габариты электроустановок.

3) Циклическая частота - ω=2πf.

Для частоты 50Гц циклическая частота ω=2*3,14*50=314рад/с или 1/с.

4) Мгновенное значение - значение периодически изменяющейся величины в рассматриваемый момент времени.

Мгновенные значения обозначают - e, i, u.

5) Амплитудное значение

Максимальное значение или амплитуду ЭДС, напряжения и тока обозначают - E_m, U_m, I_m.

6) Действующее значение

Действующее значение ЭДС, напряжения и тока обозначают - E, U, I.

Для количественной оценки синусоидального тока, который в течение времени непрерывно, периодически изменяется, используют значение постоянного тока, эквивалентное значению переменного тока по совершаемой работе. Такое значение будет действующим для синусоидального тока.

Действующим (или эффективным)значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при протекании которого в одном и том же резисторе с сопротивлением R за время одного периода Т выделятся столько же тепла, сколько при прохождении синусоидальнего тока.

При синусоидальном токе:

i=I_m sinω t

количество теплоты, выделяемое в резисторе R за время Т равно:

,

а при постоянном токе

.

Согласно определению Q_≈=Q_- , тогда

, .

Таким образом действующее значение синусоидального тока I является его среднеквадратичным значением за период Т

Действующее значение переменного тока обозначается как постоянный ток и в раз меньше чем его амплитуда.

Аналогично

.

Большинство электроизмерительных приборов работают на тепловом или электродинамическом эффекте, поэтому они всегда показывают действующее значение. Основные расчеты электроцепей синусоидального тока проводятся по действующим значениям. Для несинусоидальных величин эти соотношения будут другими.

7) Среднее значение

Среднее значение синусоидальной величины это ее среднеарифметическое значение. Однако, если определять среднее значение синусоидальной величины за период Т, то оно будет равно нулю, так как положительная и отрицательная полуволны синусоидальной кривой совпадают по форме. Поэтому среднее значение определяют за полпериода.

За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока, при котором за полпериода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе:

,

,

/

Таким образом, среднее значение меньше действующего.

 

 

Изображение синусоидальных величин в прямоугольных координатах

 

В общем случае синусоидальные величины (рис.1), могут быть записаны:

e=E_m sin(ω t + ψ _e)

u=U_m sin(ω t + ψ _u),

i=I_m sin(ω t + ψ _i),

где e,u,i - мгновенные значения ЭДС, напряжения и тока;

E_m,U_m,I_m - амплитуды ЭДС, напряжения и тока.

(ω t + ψ _e) - фазовый угол;

ψ _e, ψ _u, ψ _i - начальные фазы ЭДС, тока и напряжения.

 

На практике чаще имеют место случаи, когда электрические величины не совпадают по фазе.

Из рис. 1 видно, что напряжение опережает ток на угол ψ _u -ψ _i. Разность фазовых углов называется разностью или сдвигом фаз.

φ=ψ _u -ψ _i - разность фаз между напряжением и током.

При этом пользуются правилом: начальные фазы расположенные по левую сторону от начала координат имеют положительные значения, а по правую отрицательные.

Если угол φ >0, то ток отстает от напряжения по фазе. Если φ<0, то ток опережает напряжение по фазе.

При сложении двух синусоидальных величин (одинаковой частоты), изображенных в прямоугольных координатах, необходимо сложить ординаты для ряда значений угла ωt и по точкам построить суммарную синусоиду. Получается новая амплитуда, новый фазовый сдвиг, причем:

I_m ≠ I_m1 + I_m2;

φ_i≠ φ_i1+ φ_i2.

Такой расчет является трудоемким и имеет недостаточную точность.

 

 

Векторное изображение синусоидальных величин

 

 

Рис.2

 

Наиболее просто складывать синусоидальные величины, представив их вращающимися векторами (рис.3).

 

 

Рис.3

 

В плоскости с осями ОX и ОY рассмотрим вращающийся с постоянной скоростью, равной угловой частоте ω, вектор ОА, длина которого равна амплитуде синусоидальной ЭДС, т.е. .

Мгновенное значение ЭДС описывается известным соотношением:

e=E_m sin(ω t+ ψ_e).

За положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки, а угол поворота отсчитывают от оси ОX. В начальном положении (при t =0) вектор ОА повернут по отношению к оси OX на угол ψ_e

Построим проекцию вектора ОА на ось OY, которые изменяются по мере поворота вектора на угол ω t по отношению к начальному положению. В начальном положении (при t =0) проекция ОА₀= E_m sinψ_e= e₀, т.е. равна мгновенному значению ЭДС при t =0.

Через некоторое время (t=t ₁) вектор ОА будет повернут на угол ω t ₁ и составлять с осью ОX угол (ω t ₁ + ψ_e). Проекция его на ось OY:

ОА ₁ = E_m sin(ω t ₁ + ψ_e)= e ₁, т.е. равна мгновенному значению ЭДС при t=t ₁.

При t=t ₂ вектор ОА совпадает с осью OY и его проекция ОА ₂= E_m= e ₂. При дальнейшем вращении вектора АО его проекции на ось YO начнут уменьшаться, затем станут отрицательными и т.д.

Таким образом, проекции на ось OY вектора, вращающегося с постоянной скоростью ω и имеющего длину, равную амплитуде ЭДС, изменяются по синусоидальному закону, т.е. представляют собой мгновенные значения синусоидальной ЭДС. Следовательно, справедливо и обратное: если имеем синусоидальную величину. то ее можно представить вращающимся вектором.