Матрицы, основные операции, определители.

 

Решить следующие задачи:

13, 16, 21, 47, 64, 69, 261, 276, 795, 800, 802, 809, 839, 843, 863, 866, 869, 882

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

 

Домашняя самостоятельная работа № 3

Системы линейных уравнений.

 

Решить следующие задачи:

26, 28, 77, 82, 85, 86, 557, 571, 610, 620, 690, 698, 725

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

 

Домашняя самостоятельная работа № 4

Векторные пространства.

 

Решить следующие задачи:

637, 643, 644, 666, 676, 680, 1281, 1311, 1313, 1317, 1321

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

 

Домашняя самостоятельная работа № 5

Линейные отображения.

 

Решить следующие задачи:

1441, 1446, 1453, 1467, 1471, 1474

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984.

 

Контрольная работа № 1

1. Решить систему уравнений методом Крамера:

2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

3. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы:

4. Найти собственные числа и собственные вектора матрицы: .

5. Найти ранг матрицы в зависимости от параметра : .

6. Найти базис ядра и базис образа линейного преобразования, заданного матрицей:

.

7. Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти матрицу этого преобразования в базисе

8. Являются ли линейными преобразования:

a)

b)

c)

9. Найти базис суммы и базис пересечения подпространств

и

10. Доказать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Теоретический опрос № 1

1. Дать определение группы.
2. Дать определение подгруппы.
3. При каких условиях коммутативное кольцо с единицей является полем?
4. Дать определение подстановки.
5. Дать определение декремента.
6. Сформулировать теорему о разложении подстановки.
7. При каких условиях кольцо вычетов является полем?
8. Дать определение матрицы.
9. Дать определение определителя матрицы.
10. Перечислить основные свойства определителей.
11. Дать определение ранга матрицы.
12. Сформулировать теорему о ранге.
13. Сформулировать критерий совместности СЛУ.
14. Дать определение векторного пространства над полем.
15. Сформулировать теорему о базисе.
16. Дать определение линейного отображения.
17. Сформулировать теорему-определение невырожденного линейного преобразования.
18. Дать определение собственного вектора ЛО.

Домашняя самостоятельная работа № 6

Скалярное произведение, ортогонализация. Евклидово пространство.

 

Решить следующие задачи:

1351, 1354, 1356, 1358, 1360, 1363

из учебника Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре, М.: Наука, 1984;

9, 10, 50, 133, 134, 138, 140, 152, 157, 167, 176, 178, 190, 194, 202 (1, 2)

из учебника Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Наука, 1976.

 

Домашняя самостоятельная работа № 7

Кривые в метрическом пространстве.

Дифференциальная геометрия поверхностей

 

1. Определить типы кривых и сделать чертежи:

a) b)

c) d)

e)

f)

2. Определить типы поверхностей:

a)

b)

c)

d)

e) .

 

Домашняя самостоятельная работа № 8

Кривые в метрическом пространстве.

Дифференциальная геометрия поверхностей.

1. Найти кривизну винтовой линии: .

2. Вычислить кривизну и радиус кривизны кривой в точке x=1.

3. Найти кривизну и радиус кривизны параболы в вершине.

4. Найти кривизну эллипса в вершинах.

5. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке

6. Найти длину дуги параболы при

7. Показать, что замкнутая кривая имеет длину 10.

8. Доказать, что у кривой кривизна и кручение равны.

9. Составить уравнение поверхности вращения кривой вокруг оси Oz.

10. Для поверхности найти:

a) Площадь криволинейного треугольника

b) Длины сторон этого треугольника;

c) Углы этого треугольника.

11. Найти вторую квадратичную форму поверхности вращения

 

Домашняя самостоятельная работа № 9

Элементы топологии.

1. Являются ли для пространства множества и топологями на ?

2. Пусть , является ли топологией множество ?

3. Какие из топологий задач 1 и 2 удовлетворяют аксиоме Колмогорова?

4. Доказать, что прямая с дискретной топологией удовлетворяет аксиоме .

5. Доказать, что все точки Хаусдорфова пространства замкнуты.

6. Что из перечисленного является метрикой для декартова произведения пространств и :

a)

b) ;

c)

7. Доказать эквивалентность метрик задачи 6.

 

Контрольная работа № 2

1. Даны два вектора и b . Найти вектор с длины 1, перпендикулярный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка a, b, c имела положительную ориентацию.

2. Доказать тождество

3. Даны две точки A и B, расстояние между которыми равно 2c. Найти геометрической место точек, абсолютная величина разности квадратов расстояний от которых до точек A и B равна

4. Определить тип кривой и сделать чертеж

5. Определить тип поверхности

6. Найти кривизну и радиус кривизны параболы в вершине.

7. Найти длину дуги параболы при

Теоретический опрос № 2

1. Дать определение скалярного произведения векторов.

2. Сформулировать неравенство Коши-Буняковского.

3. Описать процесс ортогонализации Грамма – Шмидта.

4. Дать развернутое определение смешанного произведения векторов.

5. Выписать основные виды уравнений кривых второго порядка.

6. Сформулировать основные свойства гиперболы.

7. Сколько существует канонических видов поверхностей второго порядка?

8. Выписать формулу для нахождения длины кривой в метрическом пространстве.

9. Выписать формулу для нахождения радиуса кривизны кривой в метрическом пространстве.

10. Дать определение регулярной поверхности.

11. Сформулировать теорему Бонне.

12. Выписать формулы Гаусса-Петерсона - Кодацци.

13. Дать определение топологического пространства.

14. Сформулировать аксиомы топологии.

15. Дать определение метрики.