Контрольные материалы (образцы)

 

Вопросы к экзамену:

1. Общие понятия групп, колец, полей: аксиоматика и примеры.

2. Группы подстановок: разложение в произведение независимых циклов, четные и нечетные подстановки.

3. Кольца и поля вычетов.

4. Основные операции над матрицами, лемма «бухгалтера», кольцо матриц.

5. Матрицы и действия над ними. Трансвекции и диагональные матрицы. Транспонирование матриц.

6. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Теорема о разложении определителя. Миноры и алгебраические дополнения.

7. Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы и ее вычисление. Формулы Крамера. Запись системы линейных уравнений в матричной форме.

8. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей. Критерий совместности системы линейных уравнений.

9. Однородная система с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между решениями систем АХ=В и АХ=0. Общее решение совместной системы.

10. Векторное пространство над полем: аксиомы, примеры, линейные комбинации, линейная зависимость, эквивалентные наборы векторов.

11. Теорема о замене, ранг набора векторов, теорема о ранге и её следствие.

12. Базис пространства, теорема о базисе и её следствие.

13. Матрица перехода, ее невырожденность, связь между координатами в разных базах.

14. Подпространство, сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями, прямая сумма.

15. Линейное отображение (ЛО) и его матрица. Координаты образа, связь между матрицами ЛО в разных базах, подобные матрицы.

16. Образ и ядро, ранг и дефект линейного преобразования. Теорема - определение невырожденного линейного преобразования.

17. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным числам.

18. Скалярное произведение геометрических векторов и его основные свойства. Определение (абстрактного) евклидова векторного пространства, примеры.

19. Векторное пространство . Скалярное произведение и ортогональный базис в пространстве Rⁿ.

20. Длина вектора и угол между векторами, неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.

21. Ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации Грама- Шмидта.

22. Ориентация базиса векторного пространства.

23. Векторное и смешанное произведение векторов, площадь параллелограмма и объем параллелепипеда.

24. Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения и свойства. Приведение уравнения кривой к каноническому виду.

25. Канонические уравнения и геометрические свойства поверхностей. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности.

26. Понятие кривой. Длина кривой в метрическом пространстве. Длина участка пути как функция параметра. Стандартные пути (естественно параметризованные кривые).

27. Единичный касательный вектор, вектор кривизны и связанные с ними понятия. Вычисление единичного касательного вектора и вектора кривизны, формулы Френе.

28. Дифференциальная геометрия поверхностей. Регулярные поверхности. Кривизна кривой на поверхности, первая и вторая квадратичные формы.

29. Теорема Бонне.

30. Теорема Гаусса и формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци.

31. Топологическое пространство. Возможность введения различных топологических структур на одном и том же множестве. База топологии.

32. Аксиомы отделимости. Хаусдорфово топологическое пространство. Метрическое пространство как топологическое пространство. Классическая и концентрическая топологии на прямой и плоскости.

 

Варианты самостоятельных и контрольных работ:

Домашняя самостоятельная работа № 1

Группы, кольца, поля.

1. Пусть – множество всех движений плоскости, - композиция. Является ли

группой? Если да, то является ли данная группа абелевой?

2. Доказать, что нейтральный элемент в группе единственный.

3. Доказать, что обратный элемент в группе единственный.

4. Пусть - группа, причем для всякого выполнено . Доказать, что абелева.

5. Доказать, что пересечение двух подгрупп группы является подгруппой группы .

6. Доказать, что числа вида с рациональными образуют поле. Найти в этом поле число, обратное числу 2 .

7. Перемножить подстановки:

a) ;

b)

c)

8. Найти .

9. Найти декремент 5 8 6 2</m:t></m:r></m:den></m:f></m:e></m:d></m:e><m:sup><m:r><w:rPr><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>-</m:t></m:r><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:sup></m:sSup></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

10. Найти все подгруппы группы .

11. В найти обратный элемент к подстановке

12. Доказать, что число четных и нечетных подстановок в одинаково.

13. Доказать, что множество всех четных подстановок образует группу относительно операции умножения подстановок.

14. В найти обратные ко всем элементам.

15. Найти в значения

 

Домашняя самостоятельная работа № 2